Buon lunedì e buona settimana a tutti. Anche stavolta ho deciso di discutere con voi con un po' di anticipo. Sapete...gli impegni da noi sono molti e di diverso tipo. Eccoci dunque: innanzitutto bravi a tutti gli studenti che hanno risposto ( anche ovviamente a quelli che non conosco personalmente). Veniamo alle risposte:
il quesito n 16 ( l'equazione .....) è stata risolta egregiamente da Morabito, da Matteo De Priori ( 5D ) e da ceruti ( 3 H ). La soluzione è proprio x = 2 e il procedimento è stato spiegato in modo chiaro e lineare. Libretti ( 5 D ) non ha dato la soluzione corretta probabilmente per colpa mia perchè nella prima versione il testo non era completo.
il quesito n 17 invece è stato risolto elegantemente da Francesco Battistoni ( 5 A ): l'idea è proprio quella di utilizzare il logaritmo e sfruttare una nota proprietà. Libretti ( 5 D ) ha invece sbagliato per questo motivo: il testo chiedeva di individuare DUE irrazionali, non tre. Se elevo la radice quadrata di 2 alla radice quadrata di 2 e ancora il tutto alla radice quadrata di 2 equivale a elevare la prima radice a 2, ma a questo punto non parto più da due irrazionali.
per quanto riguarda il 17 ( le cui proprietà matematica affronterò in seguito ) hai ragione ,Francesco, non è triangolare: volevo solo proporvi degli stimoli per la discussione ma mi è sfuggito il punto interrogativo: le mie erano solo delle domande.
Il quesito n 18 ( la lunula ) è stato elegantemente risolto ( dimostrato ) da De Priori ( 5 D ) e da Magni ( 5 D ). Proprio così.
Il quesito 19 si divideva in tre sottoquesiti: la prima successione ricorsiva ha il termine generale individuato sia da De Priori ( 5D ) sia da Marta ( 5D ). La seconda invece ha il termine individuato da Marta: a(n) = 4/7 6^n + 3/7 (-1)^n, mentre la risposta di De Priori è errata. La terza successione ( viva Fibonacci!!! ) è ovviamente stata affrontata con successo da Marta ( 5D ). Ovviamente perchè Alessio è un esperto del lavoro del nostro amato matematico.
Spero di aver chiarito tutto...ed ora...via con i nuovi quesiti.
QUESITO n 20
Le scale incrociate ( prima situazione )
Due case si trovano l'una di fronte all'altra lungo una via piuttosto stretta. Ci sono inoltre due scale incrociate che partono dalla base di ciascuna casa e si appoggiano al muro della casa di fronte rispettivamente alle altezze a,b. A quale altezza si incrociano le due scale?
Le scale incrociate ( seconda situazione )
Lo schema è lo stesso , cambiano solo i dati; stavolta vi dico che le due scale misurano x e y e si incrociano in un punto che è all'altezza c. Quanto è larga la strada?
buongiorno, 1a
buongiorno,
1a situazione: le scale si incrociano ad un'altezza di h, la distanza tra le due case è d e l'altezza divide la distanza tra le case in z,k ; considero le similitudini d/a = z/h e d/b = k/h, si può scrivere che d/a + d/b = (z+k)/h
quindi d/a + d/b = d/h e quindi 1/h = 1/a + 1/b da questa poi posso ricavare l'altezza x in cui si incontrano
2a situazione: stessi dati di prima e quindi posso scrivere ancora che 1/h = 1/a + 1/b ; il dato che ho in più stavolta è la misura delle scale (una x e l'altra y) e utilizzando il teorema di pitagora posso scrivere d^2 = x^2 - a^2 = y^2 - b^2 quindi x^2 - y^2 = a^2 - b^2
metto a sistema con l'equazione che ho trovato nella prima situazione, cioè 1/h = 1/a + 1/b e x2 - y2 = a2 - b2, e posso quindi calcolare d
arrivederci, Matteo
Dopo le cavolate dell'altro giorno spero almeno di scrivere qualcosa di giusto stavolta...
1a situazione: per convenzione diciamo che le scale si incrociano ad un'altezza di c, la distanza tra le due case è K e che l'altezza divide K in m,n ; considerando le similitudini K/a = n/c e K/b = m/c, posso scrivere che K/a + K/b = (m+n)/c
Segue che K/a + K/b = K/c e quindi 1/c = 1/a + 1/b (inserendo i dati numerici della misura di a,b si ricava l'altezza c con questa relazione)
2a situazione: considerando sempre i dati precedenti posso scrivere ancora che 1/c = 1/a + 1/b ; il dato in più è la misura delle scale (una x e l'altra y) -> posso scrivere, considerando il teorema di Pitagora, che:
K2 = x2 - a2 = y2 - b2 -> quindi x2 - y2 = a2 - b2
mettendo a sistema le due relazioni precedenti, cioè 1/c = 1/a + 1/b e x2 - y2 = a2 - b2, si riesce (inserendo i dati numerici della misura di x,y,c) a trovare K
saluti, Matteo.