Benvenuti. Si riparte. Come per lo scorso anno il mio intervento settimanale ( quest'anno di giovedì ) cercherà di stimolarvi con proposte di vario genere ; si cercherà di approfondire la logica, il calcolo combinatorio, verranno proposti problemi di algebra, di analisi, di topologia, di calcolo delle probabilità e verranno affrontati aspetti legati alla storia della matematica. Tutto in modo spero divertente. L'anno scorso il successo non è mancato, spero che anche quest'anno non farete mancare i vostri interventi. Risponderò ovviamente a tutti voi. Ed ora....buon viaggio... nella matematica.
Quesito 1
" Pluto e la corda "
Ad una colonna cilindrica di un metro di diametro che ha centro in O è fissato un anello A. All'anello è attaccata una corda di lunghezza 10 metri, tesa in direzione OA. Alla corda è legato il cagnolino Pluto. Pluto inizia a correre mantenendo sempre tesa la corda. Che distanza ha percorso il cagnolino quando la corda si è avvolta di un giro completo intorno alla colonna?
La figura che ottieni ha un nome? Sai dirmi qualcosa di più?
Non è facilissimo ma potete farcela. Coraggio...Pluto vuole conoscere la soluzione!!!
Se volete affrontare lo stesso problema ma semplificato considerate una colonna a base quadrata di lato un metro.
pluto e la corda
la figura che si ottiene è la spirale di Archimede, in cui i bracci successivi hanno una distanza fissa.
Problema con il cilindro:
Pluto nel primo tratto, cioè da quando parte a quando la corda è tangente al cilindro, pluto percorre 1/4 di criconferenza con raggio 10 m, quindi percorre 5pigreco m. nel resto del percorso, invece, Pluto avrà una traiettoria che man mano si avvicina al cilindro, creando una spirale. Il problema è che non ho idea di come si calcoli la lunghezza di una spirale... Sicuramente, quando la corda si è avvolta in un giro completo intorno al cilindro, la corda sarà lunga (10 - pigreco) m (pigreco è la circonferenza del cilindro). la lunghezza della spirale misura come la circonferenza media fra la circonferenza di raggio massimo e la circonferenza di raggio minimo?? se è cosi, allora (2*pigreco*(10+10 - pigreco))/2=20pigreco - pigreco^2= 52,9404 m. questi dobbiamo sommarli a quelli che pluto ha fatto nel primo tratto. In totale Pluto percorrerà 68,6404 m (se è giusto il calcolo della lunghezza della spirale)
Problema con il quadrato:
la traiettoria di pluto in questo problema è una serie di sezioni di circonferenze: nel primo tratto è 1/4 di circonferenza di raggio 10m, nel secondo 1/4 di raggio 9m, nel terzo 1/4 di raggio 8m e nel quarto 1/4 di raggio 7m (ad ogni svolta la corda diminuisce di 1 m). quindi: 2*1/4*pigreco*(10+9+8+7)= 17pigreco m= 53,38 m.
commento e precisazione
se l'approssimazione della lunghezza della spirale di cui mi parlava stamattina il prof Macchi è effettivamente questa (nonostante lui abbia fatto riferimento a una suddivisione in quarti di circonferenza), allora devo dire che nn capisco da dove può essere fatta derivare...nel senso che al di fuori di un colpo di genio non si può darne una dimostrazione precisa, o almeno, se c'è mi piacerebbe leggerla. purtroppo sono un inguaribile pignolo e senza una rigorosa dimostrazione non mi piace risolvere i problemi. purtroppo però per la risoluzione sarebbe necessaria una derivata che è, come dice qulacuno di nostra conoscenza;), vietata ai minorenni. comunque sia, al di là del discorso abbastanza inutile che ho fatto, la curva in questione dovrebbe essere un evolvente del cerchio e la spirale di Archimede non è altro che un suo caso particolare.
Il percorso di Pluto
Pluto descrive una spirale di Archimede, quindi per ogni quarto di circonferenza perde si accorcia la lunghezza della corda.
Allora nel primo quadrante percorre un quarto di circonferenza totale con raggio 10,5 meno un quarto di circonferenza della corda di raggio 0,5.
(2TT*10,5)/4 - 82TT*0,59)/4= 5TT
Nel secondo invece percorre un quarto di circonferenza totale di raggio 10,5 meno TT/4 meno quella della colonna: (2TT*0,5)/4
(2TT(10,5 - TT/4))/4 - (2TT*0,5)/4= (38TT - TT2 )/8
Nel terzo quadrante percorre un quarto di circonferenza di raggio 10,5 meno 2TT/4 meno quella della colonna: (2TT*0,5)/4
(2TT(10,5 - TT/2))/4 - (2TT*0,5)/4= (20TT - TT2)/4
La quarta parte è composta da un quarto di circonferenza di raggio 10,5 meno 3TT/4 meno quella della colonna: (2TT*0,5)/4
(2TT(10,5 - 3TT/4))/4 - (2TT*0,5)/4= (38TT - 3TT2)/8
Adesso sommiamo tutte e quattro le parti di circonferenza: 5TT + (38TT - TT2)/8 +(20TT - TT2)/4 + (38TT - 3TT2)/8 che come risultato approssimato da 53,86 metri
La distanza percorsa intorno alla colonna è di 21 π ?