Sapete chi era Charles Lutwidge Dogson? ( 1832-1898 ). Dai , lo conoscete con un altro nome...
Oltre alla sua opera più famosa ( che tutti avrete letto ) questo matematico inglese ha scritto i Pillows Problems. Ho scelto questo problema che mi sembra accattivante.
Ci descrive il nostro famosissimo personaggio questa situazione:
Alcuni uomini erano seduti in cerchio, sicchè ciascuno di essi aveva due vicini, e ciascuno di essi aveva un certo numero di scellini.
Il primo aveva uno scellino in più del secondo, il quale aveva uno scellino in più del terzo e così via.
Il primo diede uno scellino al secondo, che diede due scellini al terzo, che diede tre scellini al quarto e così via, ciascuno dando uno scellino in più di quanto ricevuto, fintanto che fu possibile. ( Aggiungo io : non fermatevi al primo giro: proseguite perchè l'ultimo del giro prosegue con il primo cedendo come al solito uno scellino in più di quanto ha ricevuto. Si termina quando un uomo rimane senza scellini. )
Alla fine c'erano due vicini uno dei quali aveva un numero di scellini quattro volte maggiore del numero di scellini dell'altro.
Quanti uomini c'erano?
E quanto aveva inizialmente il più povero?
E per questa settimana ho concluso. Penso che ci sia materiale più che sufficiente per le vostre...meditazioni matematiche.
Buona settimana e...a giovedì. Scrivete! (wm)
quanti scellini!!
Chalres Lutwidge Dogson è conosciuto come "Lewis Carrol", celebre soprattutto per il romanzo "Alice nel Paese delle Meraviglie"
chiamo n il numero degli uomini e p il numero delle scellini del piu povero. All'inizio l'ultimo uomo, cioè il piu povero, avrà p scellini, il primo, il piu ricco, avrà p+n-1 scellini, e il secondo p+n-2 scellini. ad ogni giro il piu ricco guadagna n-1 scellini, quindi al termine di tutti gli scambi, quando il piu povero non avrà scellini, il piu ricco avrà p+n-1+p*(n-1) e il secondo avrà n-2 scellini. tutti gli altri saranno in ordine decrescente di scellini fino ad arrivare all'ultimo. Solo i primi due, che sono i piu ricchi, potranno avere un rapporto=4, quindi: p+n-1+p*(n-1)=4*(n-2)
p= (3n-7)/n. p deve essere un numero intero positivo, quindi l'unico valore che n puo assumere è 7, e p=2.
il piu povero ha 2 scellini e gli uomini che partecipano sono 7.
il piu ricco,invece, all'inizio aveva 8 scellini, mentre alla fine ne aveva 20.
chiamiamo n il numero degli uomini e x gli scellini dell'ultimo uomo del giro, che è quello che ne ha meno di tutti. quindi il penultimo avrà x+1 scellini, il terzultimo x+2 scellini... e il primo x+n-1 scellini. ricordando che i soldi totali sono costanti, perchè o in mano all'uno o all'altro non scompaiono mai, dopo 1 giro, ovvero dopo quando ognuno avrà dato e ricevuto 1 volta: il secondo avrà ricevuto 1 scellino e dati 2, il terzo ne avrà ricevuti 2 e dati 3... l'ultimo ne avrà ricevuti n-1 e dati n, mentre il primo ne avrà ricevuti n(dall'ultimo) e dato 1. Quindi continuando a girare tutti perdono 1 scellino, mentre il primo ne guadagna n-1 ogni giro. poichè la differenza fra due vicini(tranne il primo con il secondo) è sempre 1, questi non potranno avere mai uno 4 volte i soldi dell'altro(ne avrebbero 1/3 e 4/3).
Quindi quando gli scellini finiscono, il primo avrà 4 volte i soldi del secondo.Ora chiamiamo m il numero dei giri dopo i quali l'ultimo del giro rimarrà senza soldi. risulterà che x-m=0 -->x=m, e che x+n-1(soldi iniziali del primo)+m(n-1)(guadagno del primo dopo m giri)=4(x+n-2(scellini iniziali del secondo)-m(scellini persi dopo m giri)) --> m+n-1+mn-m=4n-8 -->m=(3n-7)/n e poichè l'unico valore di n affinchè m sia un numero intero positivo è 7, risulterà che gli uomini sono 7 e all'inizio l'uomo con meno scellini ne aveva 2.