1_ Nel caso più sfortunato prediamo prima un calzino marrone poi uno blu ma poi ce ne sarà uno marrone o blu! => 3

2_ Allo stesso modo nel caso più sfortunato: nera rossa bianca nera rossa bianca [o nera o rossa o bianca]. => 7

3_ Supponiamo che si possa, uno avrà stretto 0 mani, un' altro una mano,... fino a 14 mani (non ci si può stringere la mano da soli). Ma quello che ha stretto 14 mani la ha stretta a tutti, di conseguenza nessuno avrà stretto 0 mani poichè la avrà stretta almeno a quello che ha stretto 14 mani. Di conseguenza almeno 2 avranno stretto lo stesso numero di mani.

4_In ogni terna ci saranno o due pari o due dispari, di conseguenza P+P=P e D+D=P (P=pari, D=dispari). 

5_I numeri da 1 a 10 sono 5 pari e 5 dispari, => ci saranno sempre un pari e un dispari la cui somma è dispari.

6_Poniamo il caso limite, quello in cui le rette formano angoli di 26°, la somma degli angoli tra le rette sarà 26*7=182°, ovviamente due rette che si intersecano formano 2 angoli opposti al vertice => 182*2=364°. Ma non esiste un angolo di 364° => ci saranno due rette che formano un angolo < 26°

7_I 5 punti equidistanti con distanza maggiore possibile sono logicamente i punti sul perimetro la loro distanza perciò sarà 1/2! Se allunghiamo in qualunque modo una distanza ne accorciamo sicuramente un altra!

8_indico con = le sedie occupate e con L quelle libere e ora provo a far sedere 9 persone ponendo una L tra due O
OOLOOLOOLOO_ ho occupato 8 sedie e me ne rimane una, se la occupo avrò 3 O consecutive, altrimenti una persona in piedi! (per non avere 3 sedie consecutive devo averne 4 libere, allora ne avrò 8 da occupare che non bastano)

1- è sufficiente prendere 3 calzini, poichè, nel peggiore dei casi, prendo uno marrone e uno blu, ed il terzo sarà o marrone o blu.                                                                   nel caso dei guanti, si deve considerare anche che i guanti destri e quelli sinistri sono diversi. Se ci servono due guanti dello stesso colore indipendentemente che siano destri o sinistri, allora ne dobbiam prendere 3 come nel caso dei calzini. Se invece dobbiamo prendere due guanti dello stesso colore ma uno destro e l'altro sinistro: nel peggiore dei casi prendo 10 guanti blu e 10 guanti marroni tutti per la stessa mano. Quindi i guanti da prendere sono 21.

2- nel peggiore dei casi avrò preso 2 palline per ogni colore; prendendo la 7ima pallina, sarò sicura di avere 3 palline dello stesso colore.

3- dato che le persone sono 15, ciascuna può stringere da 0 a 14 mani (non può stringere la mano a se stessa). Supponiamo che ogni persona ha stretto un numero diverso di mani: 0-1-2....13-14. Ma questa situazione è impossibile, poichè la persona che ha stretto 14 mani l'ha stretta a tutti, e quindi non c'è nessuno che ha stretto 0 mani. o lo 0 o il 14 deve essere escluso, pertanto 2 persone hanno stretto lo stesso numero di mani.

4- sappiamo che P+P=P e D+D=P. presi 3 numeri, vi sono sicuramente due che sono entrambi o dipari o pari e quindi con somma pari.

5- sappiamo che due numeri hanno somma dispari quando sono uno pari e uno dispari. tra 1 e 10 vi sono 5 pari e 5 dispari; prendenso 6 numeri, nel caso limite essi possono essere 5 pari e 1 dispari (o viceversa), quindi vi sono 2 numeri la cui somma è dispari.

6- Sì.   se non vi sono rette parallele, allora sono tutte incidenti, e quindi tra loro formeranno, a due a due, 4 angoli la cui somma è 360°. per convenzione faccio passare tutte le rette per uno stesso punto, per visualizzare meglio la situazione. Nel caso limite, tutti gli angoli sono congruenti, quindi 360/14= 25,7° circa. Almeno due rette formano un angolo <26°, poichè anche ruotando una o piu rette, un angolo aumenta ma il suo complementare diminuisce e perciò vi è comunque un angolo <26°.

7- traccio le congiungenti dei punti medi dei lati: si formano 4 triangoli piu piccoli, i cui lati misurano 1/2. I triangolini sono 4,  mentre i punti 5, perciò vi è un triangolino che ha al suo interno almeno 2 punti, che distano sicuramente al più 1/2.

8- provo a far sedere più persono possibili senza che vi siano 3 sedie consecutive: o=occupato l=libero:  oolooloolool una persona rimane fuori, e quindi si siederà in una delle sedie libere => vi sono almeno 3 sedie consecutive.

1- il numero di calzini che devo prendere per averne almeno un paio dello stesso colore è 3 perhcè essendoci nel cassetto solo due colori, pescando 2 calzini possono essere tutti e due diversi, mentre pescandone un terzo ho per forza un paio dello stesso colore.

nel caso dei guanti se non vi fosse differenza tra mano destra e sinistra il ragionamento è lo stesso di quello dei calzini e quindi ne devo prendere 3. nel caso in cui dovessi considerare anche destra e sinistra, avendo ora 4 possibilità anzichè 2 devo prendere 5 guanti. (spero di non aver sbagliato in questo caso)

2- nel caso in cui prendessi 6 palline potrei averne 2 per lo stesso colore, quindi devo pescare 7 palline.

3- il numero massimo di mani possibili da stringere è 14 e se una persona ha stretto 14 mani nessuno può averne strette 0, allora lo 0 è da escludere e quindi due persono possono avere stretto lo stesso numero di mani.

4- prendendo una terna di numeri: x-1 , x , x+1.                                        Sommando il primo con il secondo, il secondo con il terzo e il primo con il terzo

x+x-1= 2x-1 è dispari

x+x+1= 2x+1 è dispari

x-1+x+1= 2x è pari

ovviamente la dimostrazione vale per qualsiasi sequenza di numeri (es: x-5 , x , x+7)

5- ricordo che almeno due significa due o più di due. Generalizzando la dimostrazione prendiamo sei numeri consecutivi ( ovviamente come per prima vale per qualsiasi sequenza).

x, x-1 , x-2 , x-3 , x-4 , x-5. Come prima sommando primo con secondo, primo con terzo, ...

x+ x-1=2x-1 è dispari

x+ x-2=2x-2 è pari

x+ x-3=2x-3 è dispari

x+ x-4=2x-4 è pari

x+ x-5=2x-5 è dispari

...

=> in una serie di 6 numeri ce ne sono almeno due che hanno somma dispari.

6- faccio passare tutte e sette le rette per un unico punto

=> ho 14 angoli. La somma dei 14 angoli è 360°.

MA se tutti gli angoli fossero uguali a 26° => 26*14=364° ma cioè è impossibile.

=> ci sono angoli minori e maggiori di 26°.

7- Non riesco a capire il testo

8- chiamando con s=persone sedute e p=posti liberi e ripetendo il fatto che almeno 3 vuol dire 3 o maggiore ci sono diversi modi per dimostrare il quesito.

sspsspsspssp e rimane fuori un s => se si siede in fondo ho le ultime 3 sedie consecutive, altrimenti posso averne 5

oppure:

ssspssspsssp in questo modo ho tutte le persone sedute con 3 volte 3 sedie consecutive occupate.

PS mi sento intelligente alla prossima!