Quesito n 40 * " Il folletto spiritoso "
Un folletto scieglie due numeri dispari x,y tali che 0 Ogni mattina ( a partire da quella del giorno successivo ) si sveglia, legge il numero scritto sul foglio e, se questo numero è pari, lo sostituisce con la sua metà e va a fare uno scherzetto a qualcuno. Il giorno in cui la prima volta legge un numero dispari, scompare ritornando nel mondo delle fate. Quanti scherzetti fa al massimo il folletto spiritoso?
Errore!
Il testo dice che x e y sono 2 numeri dispari, mentre tu li hai presi pari(1024 e 512)!!
x=1024 y=512
Se x=1024 e y=512 x^2-y^2=1024^2-512^2=786432.
Ora dividiamo 786432 per due e vediamo quando arriviamo a un dispari:
786432
393216
196608
98304
49152
24576
12288
6144
3072
1536
768
384
192
96
48
24
12
6
3.
Ho diviso 18 volte perciò diciotto scherzetti, penso sia giusto di errori non ne trovo!!
18!:)
Possiamo scrivere y^2 e x^2 come (2^a)xb e (2^c)xd.
Supponendo 2^c>2^a posso scrivere 2^c=(2^a)x2^e.
Di conseguenza x^2-y^2=(2^ax2^e)xd-(2^a)xb=2^a(2^exd-b).
2^exd-b è dispari poichè pari-dispari=dispari (ho dedotto dal ragionamento di prima che 2^exd è pari e b è dispari).
Quindi nella scomposizione della differenza dei miei due quadrati a è la potenza del due moltiplicata per due (poichè li ho elevati al quadrato) del minimo valore del fattore 2^z nella scomposizione di x e y (che coincide al numero delle volte che il folletto fa lo scherzetto)!
Ora qual' è la z massima nell' insieme 0<2^z<2012? 10.
Dato che ho due numeri da sottrarre i qali sono < di 2012 uno nella scomposizione avra 2^10 l' altro 2^9.
Quindi facendo il procedimento prima illustrato abbiamo che la potenza massima sarà 2^18 e quindi si faranno 18 scerzetti!:):)
x^2-y^2=(x+y)(x-y). perciò la somma di due numeri dispari minori di 2012 moltiplicata per la loro differenza deve dare un numero scomponibile in 2^z*............ con z il più grande possibile.
s=x+y d=x-y
si ricava che x=(s+d)/2 perciò, poichè x deve essere dispari e intero s+d deve essere divisibile per 2 ma non per 4 quindi se sia s sia d fossero divisibili per quattro non si ottiene una x dispari, quindi possiamo porne uno divisibile per quattro l'altro no così la somma (s+d) non è divisibile per quattro. (lo stesso discorso lo si può fare anche per la y=(s-d)/2)
d=2*........... s=2^p*................ s*d=2^(p+1)*.............
il massimo numero che si può ottenere sommando due numeri dispari minori di 2012 è 4020 (2011+2009), la potenza massima del 2 minore di 4020 è la decima (1024), perciò p=10.
s*d=2^(10+1)=2^11 perciò ogni volta che è divisibile per 2 fa uno scherzetto 2^11 è divisibile per 2 undici volte perciò a 11 scherzetti