Buongiorno ragazzi e benvenuti. Ripartiamo con il nostro dialogo settimanale. Siamo al 6 novembre e ...si ricomincia. Spero che ci sia un passaparola e che tutti o quasi possano essere messi al corrente dell'avvio del forum 2012/2013. Magari la Dirigente farà passare una circolare...Io mi incaricherò di comunicarlo ufficialmente al prof. Bolandrini che a sua volta lo proporrà al comitato studentesco.
Ma...iniziamo. Innanzitutto indicherò i miei nuovi interventi con i simboli A1,A2,A3...per comodità.
La prima proposta che vi faccio farà andare in sollucchero gli amanti della matematica, coloro che sanno apprezzare il rigore formale e sanno cimentarsi in dimostrazioni chiare e limpide.
Molti di voi conoscono il principio di induzione.
" Consideriamo una determinata proprietà p ( n ) della quale possono godere per esempio i naturali.Se sono verificate le seguenti due condizioni:
- tale proprietà è vera per n = 0
- dall'ipotesi che tale proprietà sia valida per un generico n naturale, si può dimostrare che è valida per n + 1
allora tutti i naturali godono di tale proprietà "
Il principio di induzione è evidente ma non dimostrabile. Esso è un assioma della matematica.
Dunque cimentatevi.
prima proposta:
dimostrare per induzione che:
1 + q + q ^2 + q ^ 3 + q ^ 4 +......+ q ^ n = ( 1 - q ^ ( n + 1 ) ) / ( 1 - q )
con n naturale, q reale e diverso da 1.
( gli studenti di quinta fra qualche tempo riconosceranno questa uguaglianza e la applicheranno in un tipo particolare di successioni ). La proposta è ovviamente aperta a tutti.
Così come la successiva:
Dimostrare per induzione che la somma degli angoli interni di un poligono di n lati vale ( n - 2 ) pi.
Attenzione: tale proprietà ha ovviamente senso solo se n è maggiore o uguale a tre...quindi partite con l'induzione supponendo n = 3 ....poi.......
Coraggio!!!!!!
via san Francesco n. 119/a - Caravaggio (Bg)
Sono Samuele Gatti di 3^D, new entry!
Prima proposta:
1 + q + q ^2 + q ^ 3 + q ^ 4 +......+ q ^ n = ( 1 - q ^ ( n + 1 ) ) / ( 1 - q )
- assumiamo come base dell'induzione n=0, da cui deriva che 1=1;
- ora dimostriamo che P(n) ⇒ P(n+1)
Se P(n) = (1 - q^(n+1)) / (1 - q) allora P(n+1) = P(n) + q^(n+1) ; infatti sommare le prime (n+1) potenze di q significa sommare alle n potenze di q la n-esima + 1 potenza di q.
Quindi,
(1 - q^((n+1)+1) ) / (1-q) = (1 - q^(n+1)) / (1-q) + q^(n+1)
Sviluppando, risulta l'identità
(1 - q^(n+2)) / (1-q) = (1 - q^(n+2)) / (1-q)
per cui è dimostrata la relazione di partenza.
Seconda proposta:
La somma degli angoli interni di un poligono è (n - 2) pi.
- la base dell'induzione è n=3 nel caso del triangolo, che sappiamo avere come somma degli angoli interni pi. (uguale a (3-2)pi)
- dimostriamo che P(n) ⇒ P(n+1)
Aggiungere un lato al poligono di partenza con lati n significa aggiungere a P(n) un pi.
Quindi,
P(n+1) = P(n) + pi
da cui
((n+1) -2) = (n - 2) + pi
Sviluppando, risulta
(n - 1) pi = (n - 1) pi
per cui è dimostrata la relazione di partenza.