Se siete tentati di chiedere un prestito alla Finanziaria Squalo Solitario , che fa sempre pubblicità in tv., dovete stare attenti.
Supponiamo che il tasso di interesse sia il 100% annuo, con la clausola scritta in piccolo che non ci sarà un limite inferiore per il periodo di tempo sul quale viene calcolato l'interesse composto.
Quale interesse potrà esigere il sig. Squalo su 1000 euro dopo un anno?
A prima vista potreste pensare che sarà 1000 euro.
Ma entra in gioco la clausola scritta in piccolo.
Il signor squalo potrebbe sostenere che l'interesse andrebbe computato su base giornaliera e, che ogni giorno il debito aumenta di un fattore ( 1 + 1/365 ) .
Alla fine dell'anno quindi il debito sarebbe di 1000* ( 1 + 1/365 )^ ( 365 ).
Allora si potrebbe temere che, esigendo un interesse sulla base di un'ora, di un minuto, di un secondo, di un nanosecondo ...il sig. Squalo possa far lievitare il debito a suo piacimento. Capita l'antifona?
Ma voi , miei diletti matematici, sapete che arriva in nostro aiuto un numero amatissimo......e....via via che si diminuisce l'intervallo di tempo....quindi .....lui non può farlo lievitare a piacere ...perché ? il limite è.....
basta...vi ho detto troppo.
Risposta
Per risolvere questo piccolo indovinello occorre utilizzare il limite notevole: lim x⇒+ infinito (1+(1/x))^x = e
Quindi ponendo x=t e tendendo t ad un numero sempre maggiore poichè lo si considera prima in base ai giorni poi alle ore, etc etc... si avrà: lim t⇒+ infinito S* (1+(1/x))^x= S*e
(S= soldi prestati) quindi l'interesse massimo che si potrà chiedere è 1000*e in questo caso, in generale S*e.
Ho risposto a questo quesito,anche se era già stato brillantemente risolto, perchè Riemann is very difficult.
Consideriamo l'interesse dopo un anno: 1000*(1+1/365)^365.
Diminuendo l'intervallo di tempo considerato, aumenta il denominatore della frazione (in questo caso 1/365). Esempio: se considerassi un intervallo di un'ora, avrei 1/(365*24)^(365*24).
Per intervalli sempre più piccoli, il denominatore e l'esponente continuano a crescere.
Ponendo l'intervallo "x", per calcolare l'interesse useremo la formula 1000*(1+ 1/x)^x.
Usando il limite notevole, si avrà che lim x-->infinito (1000*(1+1/x)^x=1000*e
Quindi l'interesse massimo che il sig. squalo potrà chiedere è 1000*e.
ps: non conoscendo le proprietà dei limiti non sono sicuro del 1000 che moltiplica e, ma verificando il limite numericamente per x molto grandi, a meno che non abbia sbagliato qualcosa, il valore si approssima a 1000*e!