Se si traccia un rettangolo di lati a e b, che sono interi, in generale a^2 + b^2 non sarà un quadrato, quindi la diagonale avrà una misura irrazionale. Possiamo tracciare radice di 5 come diagonale di un rettangolo con i lati 1 e 2. Ma radice di 7 non può essere ottenuta immediatamente in questo modo.Quali radici quadrate si possono formare come diagonali di un rettangolo e quali no?
In altre parole, quali numeri sono, come 2 e 5, somme di due quadrati?
La risposta non è ovvias. Bisogna guardare i numeri primi e la musica della misura in quattro battute.
Conta i numeri interi secondo un ritmo in quattro quarti : UNO due tre quattro, CINQUE sei sette otto...abbiamo numeri dispari in BATTERE e numeri dispari in LEVARE.
Li riconoscvi? Dai ...un po' di gusto musicale!!!
Le loro proprietà sono differenziate..
Dunque adesso rispondi : A parte il 2, i numeri PRIMI si dividono in Battere e in Levare. Che significa? Quali sono? Hai capito....che c'entra il rettangolo iniziale? E la musica??? Commenti.
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Il problema della somma di due quadrati fu affrontato da Pierre de Fermat, che espose la congettura (poi dimostrata da Eulero), diventata il "Teorema di Fermat sulle somme di due quadrati":
Ogni numero primo dispari si può scrivere come somma di due quadrati perfetti se e solo se è congruo a 1 modulo 4, cioè se la differenza del numero primo e 1 è multipla di 4.
Si vede subito che 5 (k=(5-1)/4 appartiene a N) è una somma di due quadrati perfetti, mentre 7 (k=(7-1)/4 non appartiene a N) non lo è.
Anche numeri non primi si possono scrivere come somma di due quadrati. Es. 10=3^2+1^2, 26=5^2+1^2, ... anche se non ho trovato nessun teorema che lo giustifichi.
Il collegamento alla musica è molto interessante: in tempo ordinario, prendendo i numeri come sedicesimi, abbiamo 1_2 in battere, 3_4 in levare... e così via.
Considerando solo i numeri primi, si nota che quelli in battere sono congrui a 1 modulo 4, gli altri no: i numeri primi in battere sono esprimibili come somma di due quadrati, quelli in levare sono congrui a 3 modulo 4, cioè, presi come diagonale di un rettangolo, non avranno mai diagonali intere (e anche questa condizione è espressa da un teorema)!