La sezione aurea di un segmento è quella sua parte che è media proporzionale tra il segmento e la parte rimanente.
Per trovare la misura della parte aurea (x) di un segmento (l), si deve risolvere l'equazione x^2+lx-l^2 (che deriva dalla proporzione l:x=x:(l-x) ), che dà
l*(sqrt(5)-1)/2. 
Phi è il rapporto aureo, cioé il rapporto tra un segmento e la sua sezione aurea. Phi sarà dunque (1+sqrt(5))/2.
Di fatto, Phi può essere definito come la soluzione positiva dell'equazione x^2+x-1=0, o come limite del rapporto tra un numero della sequenza di Fibonacci e il suo precedente, per il numero considerato che tende a infinito: lim_n→infinito Fn/Fn-1.
Il rettangolo aureo (con i lati in rapporto aureo), considerato già nell'antichità "il rettangolo più bello", ha una particolare proprietà: se da un'estremità si toglie il quadrato del lato minore, rimane un altro rettangolo aureo (oppure, se all'esterno si aggiunge il quadrato del lato maggiore, si avrà un altro rettangolo aureo). 
 
Ma arriviamo al numero d'argento, o numero plastico!
Così come il numero aureo si può definire come limite di un rapporto, anche il numero plastico si può definire come il limite del rapporto tra un numero della sequenza di Padovan e il suo precedente per il numero considerato che tende a infinito.
Due parole sulla sequenza di Padovan, scoperta dall'architetto Richard Padovan e presentata nel 1994. Ogni termine della sequenza si ottiene sommando i due termini che precedono il suo precedente. Quindi, con P(0)=P(1)=P(2)=1, P(n+1)=P(n-1)+P(n-2).
1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, ...
Quindi il numero plastico è definito come lim_n→infinito Pn/Pn-1.
Inoltre, così come Phi è il risultato di un'equazione di secondo grado, il numero plastico è l'unica radice reale dell'equazione x^3=x+1, che vale
sqrt[3]{1/2 + 1/6*sqrt{23/3}} + sqrt[3]{1/2 - 1/6*sqrt{23/3}} .
Un modo più semplice per definirlo è attraverso l'espressione
sqrt[3]{1 + sqrt[3]{1 + sqrt[3]{1 + ...}}} .
E ora veniamo all'aspetto bidimensionale di Phi e tridimensionale del numero plastico.
Dato un rettangolo di lati a, b (a>b) e un altro rettangolo adiacente al primo ottenuto ruotando il primo di 90° (la base del secondo è l'altezza del primo) si avrà che i punti O (vertice "in basso a sinistra" del primo), A (vertice "in alto a destra" del primo) e B (vertice "in alto a destra" del secondo) saranno allineati solo se i due rettangoli sono aurei. 
Allo stesso modo, dati due parallelepipedi di spigoli a,b,c (a>b>c) e un altro parallelepipedo (ottenuto ruotando il primo tale che la sua base sia la faccia "a destra" del primo, e che, visto dall'alto, il lato "verso il basso" della faccia superiore del secondo sia adiacente al lato "verso l'alto" della faccia superiore del primo) si avrà che i punti O (vertice "in basso a sinistra" della faccia inferiore del primo), A (vertice "in alto a destra" della faccia superiore del primo), B (vertice "in alto a destra" della faccia superiore del secondo) saranno allineati solo se gli spigoli stanno fra loro in rapporto al numero plastico. 
[Lo so, le figure a cui corrispondono i due numeri, spiegate a parole, sono davvero poco comprensibili... ma il sistema non mi permette di caricare immagini... chiedo venia! In ogni caso, l'importante è che il numero aureo corrisponde a rettangoli aurei (bidimensionalità) e il numero plastico concorre nel determinare i lati di parallelepipedi (tridimensionalità)]
 
Buona settimana! :)

I numeri d'oro, d'argento e bronzo e così via sono chiamati numeri metallici. Sono tutti numeri generati da equazioni della forma x^2-px-1=0; se p=1 abbiamo il numero aureo, se p=2 d'argente, 3 di bronzo e così via. Il numero aureo rappresenta il rapporto tra i lati di un rettangolo aureo ed e la lunghezza del segmento medio proporzionale tra un segmento di lunghezza unitaria e la parte rimanente; si imposta la proporzione 1:x=x:(1-x) e si ottiene l'equazione che ho citato prima. Se considero un rettangolo aureo e tolgo dal lato lungo un segmento lungo come il lato corto il rettangolo che ottengo e ancora un rettangolo aureo, e questo non e altro che il criterio con cui si costruisce la spirale aurea. Inoltre si ha anche che messi uno a fianco all'altro due rettangoli aurei con le stesse dimensioni ma in modo che uno si trovi in verticale e uno in orizzontale (ruotati di 90°) la diagonale di uno passa per il vertice dell'altro. Se non avete capito perche a parole e difficile da spiegare, basta provare. Se si pensa che sia difficile creare un rettangolo aureo la sorpresona e che bastano due carte di credito (infatti sono rettangoli aurei...). Avevo visto la risposta di sgatti che il mio computer ora non mi fa più visualizzare. Lui aveva citato il metodo di approssimazione del valore di Phi mediante una successione di radici Phi=sqrt(1+sqrt(1+sqrt(1+...))) e così via. Si può fare anche con le frazioni: Phi=1+1/(1+1/(1+1/(1+1/...))) e così via. E bello vedere che anche nel caso del numero d'argento funziona! Si può infatti scrivere come 2+1/(2+1/(2+1/(2+1/...))) e così vale anche per tutti gli altri numeri metallici.
Ho invece letto ora che il numero di plastica cui fa riferimento il prof e soluzione dell'equazione x^3-x-1=0, anche chiamato numero d'argento...quindi c'e stato un problemino di nomi...vabbe. Riguardo le proprietà geometriche tridimensionali di tale numero nn ho ancora trovato nulla ma continuerò a cercare.

Parlerò non della definizione,già data,del numero d'argento,ma accennerò al suo aspetto tridimensionale.
Il numero d'argento fu ideato dal monaco benedettino ed architetto olandese Dom Hans van der Laan (spero sia scritto giusto..),con lo scopo di superare la bidimensionalità della sezione aurea e prendere in considerazione la tridimensionalità. Proprio per questo motivo,infatti,tale numero è detto anche plastico!
Obiettivo di van der Laan era in realtà quello di dare un ordine alla propria architettura,cercando di porla come intermediaria materiale tra l'uomo e la natura illimitata.Quest'ultima,per noi inafferrabile,impercettibile, sarebbe stata in tal modo divisa in parti finite, e quindi adattata alle esigenze dell'uomo stesso.
Importantissimo è poi il legame con le due frazioni 1/7 e 3/4:esse indicherebbero i limiti della nostra abilità di cogliere la differenza di grandezze tra oggetti tridimensionali. 1/7 è il limite oltre il quale due oggetti presentano dimensioni troppo distanti tra loro per essere messi a confronto;3/4 è il rapporto minimo tra due oggetti in modo che sia percepibile la loro differenza di dimensioni.               
Ci sarebbero moltissime altre cose da dire riguardo non solo alle poche righe che ho scritto,ma anche a proposito dell' abaco,del thematismos ecc..ma devo ancora analizzarle e comprenderle meglio..mi scuso quindi per la brevità della mia risposta,spero di aver detto cose sensate!
Credo che il mio computer si sia indignato per il fatto che io abbia scritto sul forum;infatti emette uno strano ronzio..prima che esploda davvero concludo definitivamente e la saluto!