Prima di tutto faccio una premessa, introducendo alcuni assiomi che mi serviranno poi per le definizioni: (utilizzo * per indicare composto)
1- LEGGE DI COMPOSIZIONE INTERNA
     ∀a,b ∈ A => a*b = c , c ∈  A
2- PROPRIETÀ ASSOCIATIVA
      ∀a,b,c ∈ A => (a*b)*c =  a*(b*c)
3- ESISTENZA DELL’ELEMENTO NEUTRO
     ∃ n ∈ A : ∀ a∈ A => n*a = a*n = a
4- ESISTENZA DELL’ELEMENTO SIMMETRICO
     ∃ ā ∈ A : ∀ a∈ A => ā *a = a* ā = n
5- PROPRIETÀ COMMUTATIVA
     ∀a,b ∈ A => a*b = b*a
 
Ora passiamo alle definizioni… il monoide, il semigruppo, il gruppo (e il gruppo abeliano) sono tutte strutture algebriche formate da un insieme con un’operazione binaria (addizione, sottrazione, moltiplicazione o divisione) che soddisfa alcuni assiomi.
- un MONOIDE soddisfa la 1,2 e 3 ad esempio (N,+), (Z,*)
- un SEMIGRUPPO soddisfa la 1 e 2 ad esempio (N-{0},+)
- un GRUPPO soddisfa la 1,2,3,4… e se oltre a queste soddisfa anche la 5 è detto GRUPPO ABELIANO (o commutativo)
            È un gruppo (Q-{0},*)
            sono gruppi abeliani (Z,+); (Q,*)…
 
L’anello, il corpo e il campo  sono strutture algebriche formate da un insieme con due operazioni binarie (somma e prodotto) che soddisfa alcuni assiomi.
- un insieme A è un ANELLO se: - (A,+) è un gruppo abeliano
                                                 - (A,*) è un semigruppo
                                                 - la moltiplicazione è distributiva rispetto alla somma
In più, se in (A,*) vale anche la proprietà commutativa l’anello è detto ABELIANO, inoltre se esiste l’elemento neutro è detto UNITARIO.
Ad esempio Z è un anello unitario abeliano, e l’insieme dei n° pari è un anello abeliano.
 
- un insieme A è un CORPO se: - (A,+) è un gruppo abeliano
                                                - (A,*) è un gruppo
                                                - la moltiplicazione è distributiva rispetto alla somma
 
- un insieme A è un CAMPO se è un corpo in cui la moltiplicazione è commutativa ((A,*) gruppo abeliano), come gli insiemi Q,R e C
 
Gli insiemi Z e N non sono campi, perché in (N,+) e in (Z,*) manca l’elemento simmetrico.
                                                                                     Lidia Premoli Vilà