Ci siamo. Avevo detto che avremmo discusso dei solidi platonici: è giunto il momento. Ecco le proposte:
1. Vi sono cinque tipi di solidi platonici. Quali sono e quali sono le loro caratteristiche?
2. Perché possono essere cinque e non più di cinque?
3. Sai rappresentare i " grafi " dei vertici e degli spigoli di tali poliedri , rappresentati su un piano?
4. Dato un solido platonico, fissiamo in ogni faccia un punto e congiungiamo i punti corrispondenti a facce che hanno uno spigolo in comune. In tal modo si ottiene un sistema di vertici e spigoli che...è possibile costruire così un poliedro regolare?
per ora basta così.
via san Francesco n. 119/a - Caravaggio (Bg)
Iniziamo col definire quando le condizioni per cui un poliedro convesso si definisce platonico:
le sue facce sono tutte poligoni regolari convessi e sono tutte congruenti
le sue facce non si intersecano tra loro (se non negli spigoli)
in ogni vertice si incontrano lo stesso numero di facce.
I cinque solidi platonici sono dunque:
Tetraedro: 4 facce (triangoli equilateri), 4 vertici, 6 spigoli. È il solido tridimensionale con il minor numero di vertici. Ha 24 simmetrie.
Cubo (esaedro regolare): 6 facce (quadrati), 8 vertici, 12 spigoli. Ha 48 simmetrie.
Ottaedro: 8 facce (triangoli equilateri), 6 vertici, 12 spigoli. Ha 48 simmetrie.
Dodecaedro regolare: 12 facce (pentagoni regolari), 20 vertici, 30 spigoli. Ha 120 simmetrie.
Icosaedro regolare: 20 facce (triangoli equilateri), 12 vertici, 30 spigoli. Ha 120 simmetrie.
Un altro modo per descrivere quanto appena detto è la notazione di Schläfli, che è associata a ogni politopo (cioè un ente geometrico a più dimensioni, l'analogo del poligono nel piano e del poliedro nello spazio, ma in uno spazio R^n) regolare. Per descrivere un poliedro si usa la notazione {p,q} dove p è il numero di vertici di ogni faccia e q è il numero di spigoli in ogni vertice. (es, il cubo si definisce {4,3}).
I solidi platonici sono cinque ed è stato dimostrato che non possono essere più di cinque: infatti, dalla relazione di Eulero (n_facce - n_spigoli + n_vertici = 2) si arriva a determinare che il numero di spigoli che si incontrano in un vertice può essere 3, 4, o 5 (tetraedro, ottaedro, icosaedro) e che se questo è 3, il numero dei lati delle facce del poliedro può essere, oltre che 3, anche 4 e 5 (cubo e dodecaedro).
Oppure si può ragionare sugli angoli interni delle facce dei poliedri e sul fatto che almeno 3 di questi angoli devono convergere in un unico spigolo: la loro somma deve essere sicuramente minore di un angolo giro. Allora i poliedri convessi regolari sono necessariamente cinque.
Per quanto riguarda i grafi, ho disegnato con geogebra quelli dei primi tre solidi (link alla mia dropbox: https://www.dropbox.com/s/sq2rrqyrr2wjypp/grafi.png ) In pratica si devono considerare i vertici come nodi del grafo e gli spigoli come archi.
Il punto 4 tratta la cosiddetta dualità poliedrale:
due poliedri sono definiti duali se c'è una corrispondenza biunivoca tra gli insiemi di vertici, facce e spigoli dei due poliedri, cioè se viene associato ad un vertice, faccia o spigolo di un poliedro una faccia, uno spigolo o un vertice dell'altro.
Nei solidi platonici, unendo il centro di ogni faccia con quello delle facce che hanno uno spigolo in comune, si ottiene il solido duale del primo.
Controllando con qualche disegno, emerge che il duale del tetraedro è il tetraedro, del cubo è l'ottaedro, dell'icosaedro è il dodecaedro.
Ad esempio nel il cubo, ad ogni faccia corrisponde un vertice dell'ottaedro, ad ogni vertice una faccia.
In questo modo, dato un poliedro regolare, è possibile costruire il suo duale in modo preciso.