Partiamo da due persone per semplificare il tutto: il compleanno della prima occuperà un giorno (1/365 di anno), quello della seconda un altro giorno; se le due persone hanno lo stesso compleanno allora il giorno "occupato" sarà lo stesso (1/365 di anno), altrimenti quello della seconda occuperà uno dei giorni "liberi" (uno tra i 364/365 di anno rimasti). Perciò la probabilità che il compleanno non sia lo stesso sarà
p = 365/365 · 364/365
(visto che le due condizioni sussistono contemporaneamente la probabilità è composta), e allora la probabilità che sia lo stesso giorno sarà 
p' = 1 - p
Assumendo che le persone siano 3, 4, 5, ... alla moltiplicazione si aggiungeranno 363/365, 362/365, 361/365, ... perché via via che si aggiungono persone si "occupano" giorni.
Quindi con 20 persone:
q = 1 - 364/365 * 363/365 * ..... * 346/365 = 1 - ( (364!) / (365^19)*(345!) )
proprio perché il numeratore della frazione risultato della moltiplicazione sarà 364! diviso per il fattoriale della differenza tra i giorni totali e quelli disponibili dopo aver considerato tutte le 20 persone, mentre il denominatore sarà la 19-esima potenza di 365.
Svolgendo i calcoli, la probabilità è del 41%.
Se le persone fossero 100, in maniera analoga a quanto fatto prima, la probabilità è del 99%.
 
A questo punto si presentano due considerazioni.
La prima: da quanto detto è possibile scrivere una formula generale per il calcolo di questo tipo di probabilità:
pn = 1 - ( (364!) / (365^(n-1))*(365 - n)! )
La seconda: sembra davvero strano che con 100 persone la probabilità che due di queste abbiano lo stesso compleanno sia quasi pari a 1.
Questo è definito come "paradosso del compleanno", esposto nel 1939 da Richard von Mises (paradosso nel senso non logico-matematico di contraddizione, ma etimologico di para doxa, contro l'opinione). Infatti, la probabilità cresce velocemente al crescere del numero di persone considerate, tant'è che a 23 persone già si supera il 50%, per poi salire rapidamente al 99% a 60 persone. 
C'è una spiegazione: intuitivamente si è portati a pensare che, dal momento che si sono 365 giorni in un anno, è molto improbabile che tra 20 persone ce ne siano due con lo stesso compleanno, proprio perché la differenza tra 365 e 20 è elevata; in realtà si devono considerare le coppie di persone, che potenzialmente hanno lo stesso compleanno (che sono combinazioni semplici); detto questo, non sembra più tanto strano, dal momento che, con 20 persone, le coppie sono 190.
Una curiosità: questo paradosso è usato spesso in crittografia, per verificare la sicurezza del metodo crittografico usato.
 
Per quanto riguarda l'ultima domanda, le persone devono essere al minimo 17 (probabilità del 31,5%). Mi sono soffermato a lungo su questo punto, perché volevo trovare un metodo matematico per risolverlo: non ci sono riuscito, e il risultato è stato trovato moltiplicando 364/365, 363/365, ... tante volte fino a che il risultato non ha toccato 0,70. In realtà, avevo pensato di porre la formula generale (che ho chiamato pn) uguale a 0.3, ma poi non sono riuscito a risolvere l'equazione.
 
Buonasera e buona settimana!