Buonasera a tutti!
Iniziamo con il quesito:
dimostrare che, per m appartenente ad N e > 1, m, f(m) e f(f(m)) sono primi fra loro significa in sostanza verificare che i polinomi non hanno fattori comuni.
f(m) = m^2 + m + 1;
f(f(m)), svolti i debiti calcoli, risulta essere
f(f(m)) = m^4 + 2m^3 + 4m^2 + 3m + 3.
Innanzitutto si verifica facilmente che f(m) e f(f(m)) non sono divisibili per m, e quindi sono entrambi primi fra loro con m.
Quindi, basta notare che tanto f(m) quanto f(f(m)) sono polinomi irriducibili in N, e che quindi sono primi fra loro.
Nel caso in cui m fosse appartenuto a C, i polinomi sarebbero stati invece fattorizzabili (in virtù del teorema fondamentale dell'algebra).
La proprietà, inoltre, si può estendere anche alle altre f(f(f(...f(m)))), perché i polinomi sono irriducibili in N (al quadrato del polinomio irriducibile si aggiunge lo stesso polinomio e un numero).
 
Buon fine settimana! Nel frattempo penserò al primo quesito...
(e... "Finzioni" mi ricorda Borges: che sia un caso?! ;) )
Samuele