Per cercare di capire il meccanismo delle partizioni e quello che si chiede di dimostrare sono partito da un caso concreto, che qui riporto: le partizioni di 8. Tra parentesi tonde c'è il numero r di parti in cui è suddiviso l'intero.
(8) 1+1+1+1+1+1+1+1
(7) 1+1+1+1+1+1+2
(6) 1+1+1+1+1+3
     1+1+1+1+2+2
(5) 1+1+1+1+4
     1+1+1+2+3
     1+1+2+2+2
(4) 1+1+1+5
     1+1+2+4
     1+1+3+3
     1+2+2+3
     2+2+2+2
(3) 1+1+6
     1+2+5
     1+3+4
     2+2+4
     2+3+3
(2) 1+7
     2+6
     3+5
     4+4
(1) 8
Dall'analisi di quanto scritto emerge che, considerando ad esempio r=3, si avrà che il numero di partizioni di 8 in al più 3 parti (10) è uguale al numero di partizioni di 8 in parti al massimo uguali a 3 (10).
Scrivendo su due colonne le partizioni delle due condizioni, si nota che c'è una corrispondenza tra le partizioni dell'una e dell'altra colonna (partizioni al massimo in 3 parti e partizioni con parti al massimo uguali a 3):
8 --- 1+1+1+1+1+1+1+1
4+4 --- 2+2+2+2
3+5 --- 2+2+2+1+1
2+6 --- 2+2+1+1+1+1
1+7 --- 2+1+1+1+1+1+1
2+3+3 --- 3+3+2
2+2+4 --- 3+3+1+1
1+3+4 --- 3+2+2+1
1+2+5 --- 3+2+1+1+1
1+1+6 --- 3+1+1+1+1+1
Ora, la corrispondenza deriva (mi si perdoni il linguaggio poco matematico) dal prendere contemporaneamente da ciascuna parte un'unità, che, sommata a quelle prese dalle varie parti, va a costituire la parte della partizione corrispondente. Un esempio:
1+3+4 --- 3+2+2+1
Prendo un'unità da 1, una da 3 e una da 4; la prima parte della partizione corrispondente è quindi 3;
prendo un'unità dal 3 (a cui ne erano rimaste 2), una dal 4 (a cui ne erano rimaste 3); la seconda parte della partizione corrispondente è 2;
prendo un'unità dal 3 (a cui adesso non ne rimane più nessuna) e una dal 4 (a cui ne rimane ancora una); la terza parte della partizione corrispondente è 2;
è rimasta una sola unità dal 4: questa sarà la quarta parte della prtizione corrispondente.
�In realtà, la spiegazione del procedimento e la sua comprensione sono più complicati dell'esecuzione stessa.
Ma le partizioni corrispondenti possono anche essere rappresentate graficamente, in modo molto più intuitivo e immediato: basta considerare le varie parti, disposte in righe, in vari punti incolonnati.
Così la partizione prima considerata diventa:
* * * *     4
* * *       3
*            1
Ma, "leggendo" il grafico in verticale e non più in orizzontale, si avrà la partizione corrispondente:
* * * * 
* * *
*
3 2 2 1

La dimostrazione di quanto richiesto si serve proprio di questa rappresentazione grafica.
Sia n un intero qualsiasi, di cui è possibile scrivere in modo ordinato tutte le partizioni (così come si è fatto all'inizio della risposta con l'8). Sarà quindi possibile individuare tutte le partizioni in al più r parti.
Queste potranno essere rappresentate graficamente (come s'è fatto con 4+3+1). Ma, leggendo in verticale la rappresentazione, si avrà una nuova partizione in parti al più uguali a r, dal momento che r è il numero delle righe (parti) della partizione di partenza.
Ed è certo di aver considerato tutte le partizioni che hanno parti al massimo uguali a r perché, procedendo per assurdo, se ne esistesse una non considerata, leggendo la sua rappresentazione grafica si potrebbe trovare la sua partizione corrispondente, in r parti, prima non considerata, il che è impossibile.
 
E con questo chiudo! Buona serata,
Samuele :)