Prima di tutto il link al disegno (il forum non mi permette di caricare immagini...):
https://www.dropbox.com/s/53cvu09co38soct/decagono.pdf
Il decagono si può considerare come formato da dieci triangoli isosceli, ciascuno con angolo al vertice di 36° e angoli alla base di 72°.
Tracciando la bisettrice di uno dei due angoli alla base, si ottiengono due nuovi triangoli, entrambi isosceli, uno dei quali simile a quello di partenza (perché con angolo al vertice di 36° e angoli alla base di 72°).
Seguendo le lettere del disegno, allora
CB : AB = AD : BD
r : l = l : (r - l)
Quindi il lato del decagono è medio proporzionale tra il raggio e la differenza tra raggio e lato, e cioé uno è la sezione aurea dell'altro.
Sviluppando il calcolo
l^2 + r*l - r^2 = 0
Mantenendo la soluzione positiva, che è l'unica ad avere un significato geometrico, si ha che
l = r * (sqrt(5) - 1) / 2
Il rapporto r / l, razionalizzando il denominatore, sarà proprio uguale a phi: (sqrt(5) + 1) / 2, il numero d'oro.
 
Samuele :)