Due eventi incompatibili
Come sapete, due eventi si dicono incompatibili se la loro intersezione è l'insieme vuoto, cioè se il verificarsi dell'uno esclude il verificarsi dell'altro, che è come dire che la probabilità dell'intersezione è uguale a zero.
Beh...allora considerate due eventi E ed F incompatibili. Sono note P ( E ) e
P ( F ). Tali eventi sono relativi ad un esperimento. Supponiamo di ripetere l'esperimento fino a quando non si verifichi uno dei due eventi.
Qual è la probabilità che l'evento E si verifichii per primo ?
Carino, non vi pare ?
via san Francesco n. 119/a - Caravaggio (Bg)
Allora, è chiaro che E+F non è lo spazio degli eventi, altrimenti la probabilita che E si verifichi per primo è P(E).
Quindi la probabilita che in un esperimento non si verifichi ne E ne F è 1-[P(E)+P(F)].
Se non ho interpretato male la frase "E si verifichi per primo" essa significa che E deve verificarsi prima di F, quindi abbiamo vari casi:
-E si verifica per primo: P=P(E)
-E si verifica alla seconda prova: P={1-[P(E)+P(F)]}*P(E)
-E si verifica alla ennesima volta: P={1-[P(E)+P(F)]}^(n-1)*P(E)
Queste sono le probabilita dei vari casi a noi favorevoli, sommandole avremo la probabilità che E si verifichi prima di F.
Dopo un raccoglimento a fattor comune totale e dopo aver indicato con x la probabilità che non si verifichi ne E ne F il risutato è il seguente:
P=P(E)*[1+x+x^2+x^3+...+x^(n-1)] con n che tende a + infinito
Dato che x è compreso tra 0 e 1 tra le quadre c'è una serie convergente.
Ora non vorrei dire stupidate, il metodo che ho usato è un po' poco rigoroso ma quella serie dovrebbe tendere a 1+1/[(1/x)-1], quindi alla fine P= P(E)*{1+1/[(1/x)-1]}.