L'eccesso sferico è un concetto proprio della geometrica sferica, o ellittica, o di Riemann.
Le geometrie non euclidee nascono dalla negazione del V postulato di Euclide (per un punto esterno a una retta passa una e una sola retta parallela); se si suppone che per quel punto passino più rette parallele la geometria è iperbolica, mentre se si suppone che non ne passi nessuna è ellittica.
I modelli di visualizzazione tengono conto di questo. La geometria iperbolica si serve di numerosi modelli, tra cui quello di Poincaré (lo spazio è formato dai punti interni a un cerchio, in cui le rette sono archi di circonferenza che intersecano la circonferenza perpendicolarmente), e quello di Klein (lo spazio è, come in quello di Poincaré, formato dai punti interni a un cerchio, ma le rette sono corde della circonferenza). La geometria ellittica invece è visualizzata mediante il modello della sfera: lo spazio è formato dai punti componenti la superficie della sfera, e le rette sono cerchi massimi; pertanto non ci sono rette parallele, dacché i cerchi massimi si intersecano sempre. 
La geometria parabolica è quella euclidea.
Passiamo ora all'eccesso sferico.
Nella geometria ellittica i triangoli (detti triangoli sferici) hanno la somma degli angoli interni maggiore di due retti: la differenza tra la somma degli angoli interni del triangolo e due retti è per definizione l'eccesso sferico.
E ora il problema. Viene richiesta l'area del triangolo sferico dato il raggio della sfera presa a modello.
Prima di tutto il disegno (link dalla mia Dropbox): 
https://www.dropbox.com/s/9isezh7q8va3gyf/eccesso_sferico.pdf
Il triangolo sferico può essere considerato come l'intersezione di tre fusi sferici (uno indicato con F nel secondo disegno); poiché un fuso sferico ne ha sempre uno "complementare" (F') e equivalente, si vengono a formare in questo modo due triangoli sferici congruenti. 
La somma delle aree dei sei fusi sferici (a due a due congruenti, in coppia nelle due semisfere) dà l'area di tutta la sfera a cui si aggiunge anche quattro volte l'area del triangolo sferico: due volte le intersezioni dei fusi sferici che non concorrono nel coprire l'area della sfera e due volte le stesse di quelli congruenti.
Perciò, 
(1)      2*A_F1 + 2*A_F2 + 2*A_F3 = A_sf + 4*A_tr
L'area del fuso sferico si ricava, detto θ l'angolo del fuso e r il raggio della sfera, dalla proporzione
A_F : 4pi*r^2 = θ : 2pi 
E quindi, semplificando quello che si può semplificare,
A_F = 2 θ r^2
Ora, tornando alla (1), e detti α, β e γ gli angoli dei fusi sferici F1, F2, ed F3, si ha che
2*2α*r^2 + 2*2β*r^2 + 2*2γ*r^2 = 4pi*r^2 + 4*A_tr
Allora
A_tr = (α + β + γ - pi) r^2
Ma (α + β + γ - pi) altro non è che l'eccesso sferico, e quindi l'area del triangolo sferico è il prodotto dell'eccesso sferico e del quadrato del raggio della sfera.
 
Buona sera, 
Samuele :)