Rimango sul versante storico: dunque... Peano. 
Torinese, nato nel 1858 e morto nel 1932, fu un matematico eccentrico e geniale, docente di analisi all'università di Torino. Contributi notevoli alla matematica sono la definizione del limite superiore, la curva di Peano (frattale), il calcolo vettoriale. Ideò il simbolo di appartenenza, il simbolo del quantificatore universale e stabilì che le formule dovessero essere scritte in una riga separata dal testo, per favorirne la lettura. Sviluppò una forma di latino semplificata (latino sine flexione) con cui scrisse i suoi trattati e tenne alcune conferenze (ma non ebbe grande successo...).
Nonostante dovesse insegnare calcolo infinitesimale, tenette anche lezioni di logica; contribuì in modo straordinario proprio in logica: definì gli assiomi su cui si fondano i numeri naturali, che diedero l'input per la formalizzazione della teoria delle classi da parte di Russel. 
 
E adesso gli assiomi!
Le proprietà dei numeri naturali posso essere facilmente intuite; tuttavia, per poter operare con i naturali in modo rigoroso e soprattutto formale, è necessario derivare le loro proprietà da un corpus di assiomi, descritto circa agli inizi del '900 da Peano:

Esiste 0 ∈ N (esistenza di un numero naturale);

Esiste una funzione S: N → N (che associa ad ogni numero naturale il suo successore);

Se n_1 ≠ n_2 allora s(n_1) ≠ s(n_2). (due naturali diversi hanno diversi successori);

Per ogni n naturale, s(n) ≠ 0;

Se X ⊆ N, 0 ∈ X e se n ∈ X dunque s(n) ∈ X, allora X = N. (l'assioma di induzione).

Da questi si può derivare tutta l'aritmetica dei numeri naturali, nonché tutte le proprietà a cui si arriva intuitivamente.
Gli assiomi ci dicono che N non è vuoto, perchè contiene almeno lo 0 (1); N ha infiniti elementi, perché dato un x ∈ N, sarà sempre possibile trovare il suo successore (2); la funzione S è iniettiva, e quindi i numeri naturali si susseguono in ordine (3); non ci sono numeri naturali negativi (4).
Tutte le altre proprietà si possono definire combinando gli assiomi da 1 a 4, o ricavare partendo dalla definizione della funzione successore, eventualmente precisando gli assiomi 1, 3 e 4, e dimostrando mediante l'assioma 5: il principio di induzione.
Si può, ad esempio, dimostrare che l'insieme N è ben ordinato.
O si può definire l'operazione somma come un'applicazione da N^2 che contiene una coppia (x, y) su (x+y) ∈ N, tale che: 
          0 + y = y;
          s(x) + y = s(x+y).
Così come se ne possono dimostrare le proprietà e si può definire la moltiplicazione. Tutto per mezzo dell'induzione.
 
Buone vacanze,
Samuele :)