Detta A l'area del triangolo equilatero in esame, quella del triangolo formato congiungendo i punti medi dei suoi lati è 1/4 * A; quella del triangolo i cui vertici sono i punti medi del triangolo appena formato è 1/4 * 1/4 * A = 1/16 * A; e così via per tutti gli altri infiniti triangoli.
La loro somma va a formare una serie infinita, così definita:
(1)          S = A (1 + 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ... + 1/(4^n) ).
In forma compatta si può scrivere
(2)          sommatoria_n=0^infinito A(1/4)^n
L'espressione in parentesi nella (1) altro non è che una successione il cui termine generale è 
(3)          a_n = (1 - (1/4)^(n+1) ) / (1 - 1/4),
che è facilmente dimostrabile per induzione.
Il limite per n che tende a più infinito della (3) è
lim_n→+infinito (1 - 1/(4^(n+1)) ) / (1 - 1/4) = 1 / (1 - 1/4) = 4/3
(basta notare che, per n→infinito, 4^(n+1)→infinito, e 1/(4^(n+1))→0 ).
Allora la (1) diventa, conoscendo l'area A=36*sqrt{3} cm^2,
S = A * 4/3 = 36*sqrt{3} * 4/3 cm^2 = 48*sqrt{3} cm^2.
 
Buona notte,
Samuele