Buongiorno! Finalmente la settimana è terminata, e riesco a passare per il forum.
Prima di tutto, quindi, il disegno della situazione proposta:
https://www.dropbox.com/s/lm6gvzg2sr5jdb9/nello_spazio.pdf
Dato un parallelepipedo, si vuole dimostrare che il segmento EF, passante per il punto O, punto di incontro delle diagonali e centro del parallelepipedo, ne è diviso a metà.
Il piano passante per le due diagonali e i piani passanti per il segmento e rispettivamente per la diagonale D'B e A'C individuano due triedri.
Si vengono a formare tre copppie di angoli congruenti perché opposti al vertice:
A'OD' congruente a BOC;
A'OE congruente a FOC;
D'OE congruente a FOB;
questi sono le facce rispettivamente dei due triedri OA'D'E e OFCB, che pertanto sono congruenti (sono infatti opposti al vertice).
I due triedri vengono sezionati dai due piani paralleli su cui si trovano le due facce ADA'D' e BCB'C' del parallelepipedo, egualmente distanti dal vertice dei triedri, dacché questo è il centro del parallelepipedo.
Si vengono dunque a formare i due triangoli congruenti A'ED' e CFB.
Consideriamo ora il piano individuato dal segmento EF e dalla diagonale D'B.
Le rette BF ed ED' sono parallele (perché anche appartenenti ai due piani paralleli determinati dalle due facce parallele del parallelepipedo), e vengono tagliate dalla trasversale D'B.
Si determinano allora gli alterni interni, congruenti, ED'O e OBF.
Pertanto, per il secondo criterio di congruenza, i triangoli ED'O e OBF sono congruenti, in quanto hanno rispettivamente congruenti gli angoli ED'O e OBF, gli angoli D'OE e FOB, i lati D'O e OB (questi ultimi, infatti, sono congruenti in quanto il centro O del parallelepipedo divide le diagonali, nel nostro caso la diagonale D'B, a metà).
Allora i segmenti EO e OF sono congruenti, in quanto lati corrispondenti in triangoli congruenti; è dimostrato, quindi, che il centro O del parallelepipedo divide a metà un qualunque segmento che termina su due facce opposte.
 
Buon fine settimana,
Samuele :)