Data una determinata funzione, è possibile determinare un polinomio che l'approssimi supponendo che questo rappresenti una curva che abbia la stessa tangente della funzione, la stessa concavità, e così via. 
Le derivate successive del polinomio in un dato punto, quindi, devono coincidere con quelle della funzione in quel punto. In pratica, ogni termine di grado n del polinomio deve avere come coefficiente la derivata di ordine n della funzione nel punto considerato.
E arriviamo all'arcotangente. È noto che la sua derivata sia 1/(1+x^2). Applicando la definizione di polinomio approssimante, e considerando come punto x=0, si arriva a quello che è chiamato polinomio di Maclaurin per l'arcotangente:
arctg x = x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + x^9/9 - ...
Applicandolo dunque all'equazione in esame, si ha
x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + x^9/9 - ... = -2/3 x^2
Ora, il problema sta nel scegliere a che punto interrompere il polinomio approssimante. 
Se ci si ferma a un termine positivo, le radici dell'equazione saranno complesse, e non accettabili nell'ipotesi in cui l'equazione sia in R.
Fermarsi poi ad un termine del polinomio maggiore del secondo darebbe luogo a un'equazione da risolvere per via approssimata (o almeno così mi è successo con i termini con cui ho provato): è conveniente, dunque, fermarsi a x^3/3, rinunciando, però, alla precisione del risultato.
L'equazione 
x + 2/3 x^2 - x^3/3 = 0
ha come soluzioni x=-1; x=0; x=3. Le prime due sono accettabili, mentre la terza no: per quel valore, infatti, la funzione arcotangete è positiva, mentre la parabola, che ha concavità verso il basso, negativa.
Approssimando il polinomio fermandosi a termini di grado maggiore, e calcolando poi le radici dell'equazione con il computer, dà chiaramente risultati sempre più vicini a quelli "giusti", che sono, a parte x=0, x= - 1,12538.
 
Buona settimana,
Samuele :)