Dato un numero n ∈ N e due interi a, b, se (a-b) è multiplo di n si può dire che
a ≣ b (mod n),
il che significa che il resto della divisione di a per n è b.
Un esempio veloce: 
13 ≣ 5 (mod 8), perché 13 = 1*8 + 5.
Detto questo, dal momento che la congruenza è una relazione di equivalenza (infatti gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva) questa determina un insieme quoziente, formato da classi che si definiscono classi di resto modulo n.
Data quindi una congruenza modulo n, si vengono a formare n classi di resto (da 0 a n-1), ognuna delle quali include i numeri che divisi per n danno un certo resto.
Ad esempio, nella congruenza modulo 5, la classe di resto [3] sarà composta da 
3; 8; 13; 18; ... ; 3+5k.
 
E ora l'equazione.
In generale, un'equazione del tipo ax ≣ b (mod n) si può riscrivere come
ax = kn + b.
Quest'ultima è un'equzione diofantea lineare, risolvibile usando il metodo derivante da quello di Euclide per la ricerca del MCD.
Un'equazione di questo tipo ha soluzioni solo se il MCD dei coefficienti delle incognite è divisore del termine noto.
L'equazione proposta è riducibile dividendo tutti i termini (compreso il modulo della congruenza) per il loro MCD, che è 2, sfruttando una proprietà delle congruenze.
Diventa allora
7x ≣ 13 (mod 2)
che ammette chiaramente soluzioni, dacché il MCD(7,2)=1, che è divisore di 13.
Per quanto esposto prima, l'equazione è equivalente a
7x = 2k + 13
che, ordinando i termini, è
7x - 2k = 13.
Applicando il metodo di Euclide, si trovano, senza numerosi passaggi, le soluzioni dell'equazione 7x - 2k = 1: poiché 3 è quel numero che moltiplicato a 2 dà (7-1), si ha
7 - 3*2 = 1.
Moltiplicando entrambi i membri dell'uguaglianza per il termine noto dell'equazione di partenza, 
7*13 - 39*2 = 13
si perviene ad una delle soluzioni, che è la coppia (13, 39); una delle soluzioni dell'equazione da cui siamo partiti è dunque 13.
Per trovare tutte le altre soluzioni, basta riconoscere che queste devono essere congrue a 13 modulo 2, quindi congrue a 1 modulo 2, e quindi dispari.
Si sarebbe potuti arrivare allo stesso risultato senza parlare di equazioni diofantee, perdendo però in rigore risolutivo: per trovare la prima soluzione sarebbe stato possibile dividere 7x = 2k + 13 per 7, e quindi trovare per tentativi un valore di k che rendesse intera la x.
 
Buona sera, 
Samuele :)