Buongiorno!
Per prima cosa metto il link al disegno:
https://www.dropbox.com/s/xtjlt30lbecvbxz/settore_sferico.pdf
Poiché nel testo del quesito si pone come condizione che l'angolo del settore circolare sia minore di due retti, ho distinto due casi: il primo, con l'angolo minore di un angolo retto, in cui il settore sferico è dato dalla somma di una calotta sferica e di un cono; il secondo, in cui il settore risulta essere l'intera sfera meno la calotta sferica e il cono. In pratica la somma dei solidi dei due casi (considerando chiaramente angoli esplementari) produce una sfera.
Farò allora riferimento al solo primo caso, identificato dalla Figura 1 nel disegno.
È noto dalla geometria solida (e si può dimostrare mediante il principio di Cavalieri) che il volume della calotta sferica, faccio riferimento alle lettere nel disegno, in cui R è il raggio della sfera e r quello di base del cono, è
               1/3 pi h^2 (3R - h).
Il volume del cono, sempre riferendosi alle lettere nel disegno, è
               1/3 pi r^2 (R - h).
Notando che, per il teorema di Pitagora, 
               r^2 = R^2 - (R - h)^2 = 2Rh - h^2,
ed esprimendo il volume del settore sferico come somma dei due volumi appena espressi, dopo aver raccolto 1/3 pi, risulta
               V = 1/3 pi [ h^2 (3R - h) + (2Rh - h^2)(R - h) ].
Sviluppando la parentesi quadra, 
               V = 2/3 pi R^2 h.
Dati il raggio e l'angolo, si può trovare, applicando la trigonometria, l'espressione dell'altezza:
               h = R (1 - cos α)
 
Samuele :)