La quadratura del cerchio era, insieme alla trisezione dell'angolo e alla duplicazione del cubo, uno dei tre problemi "storici" della geometria greca.
In particolare, quadrare il cerchio significa trovare un quadrato che abbia la stessa area di un dato cerchio, usando esclusivamente riga e compasso.
Schiere di matematici hanno provato a risolvere il problema, ovviamente senza successo, fino a che Ferdinand von Lindemann ne dimostrò l'impossibilità.
Ma andiamo con ordine.
Il problema della determinazione dell'area del cerchio nasce in Grecia, e rimane senza sviluppi fino a che il grande Archimede dimostra, ricorrendo ad approssimazioni con poligoni inscritti e circoscritti, prima che un cerchio equivale a un triangolo con base pari alla lunghezza della circonferenza e altezza pari al raggio, e poi che pi greco è compreso tra 22/7 e 223/71.
Secoli dopo, l'avvento dell'analisi infinitesimale permette ai matematici di trovare espressioni di pi greco mediante integrali e serie infinite, come quelle trattate nel quesito precedente. Non si erano però fatti importanti passi riguardo la quadratura, ancora ritenuta possibile (o, meglio, non confutata).
C'era stato però, nel frattempo, Eulero, che, tra i tantissimi contributi, aveva lasciato anche la famosa identità (e^iπ + 1 = 0), che si rivelerà importantissima ai fini della nostra storia.
Nel 1882 il matematico Ferdinand von Lindemann dimostra in primo luogo che, se pi greco fosse stato trascendente (cioé non soluzione di un'equazione algebrica), allora il problema della quadratura del cerchio sarebbe stato impossibile, e, successivamente, che pi greco è trascendente.
Questa dimostrazione si basa su quella, pubblicata nel 1873 da Charles Hermite, della trascendenza di e.
Da questo dato segue immediatamente la trascendenza di e^(p/q), con p/q razionale non nullo. Lindemann estende questa proprietà a un generico e^x, con x algebrico; da questo fa seguire che "i logaritmi neperiani di tutti i numeri razionali, unità esclusa, e di tutti gli irrazionali algebrici, sono numeri trascendenti". 
E allora, poiché, per l'identità di Eulero,
          ln(-1) = iπ
e ln(-1) è il logaritmo naturale di un numero razionale (diverso dall'unità, essendone l'opposto), allora iπ deve essere trascendente e, siccome somme e prodotti di numeri algebrici sono algebrici, allora π deve essere trascendente.
Dimostrata la trascendenza di pi greco, il problema della quadratura del cerchio veniva chiuso definitivamente, rimanendo soltanto come sinonimo di impresa senza soluzione.
 
Buona settimana,
Samuele