Prima parte.
Definiamo fattoriale di un numero naturale, n!, il prodotto di quel numero per tutti gli interi positivi che lo precedono.
Se n è maggiore o uguale a 5, il suo fattoriale include i fattori moltiplicativi
               5 * 4 * 3 * 2 * 1;
dal momento che un numero finisce con 0 quando è divisibile per 10, e la divisibilità per 10 implica quella per 5 e per 2 o, il che è equivalente, che tra i fattori moltiplicativi di quel numero ci siano 5 e 2, il nostro n! considerato termina con almeno uno 0.
 
Seconda parte.
Abbiamo visto che perché un numero finisca con uno 0 questo deve avere tra i suoi fattori moltiplicativi un 5 e un 2. Il numero di zeri con cui termina un numero sarà dato dal numero di coppie (5,2) presenti nella sua scomposizione in fattori, e cioè, formalizzando matematicamente, sarà dato da
               min(n,m)
con n esponente di 2 e m esponente di 5 nella scomposizione in fattori primi.
Questa la teoria. Nella pratica, per arrivare a quanto chiesto nel quesito, quando si devono trattare numeri estremamente grandi, come 100! o 1000!, è opportuno trovare "scorciatoie" per sapere quanti 5 e 2 ci sono.
Considerando che tutti i numeri pari portano al fattoriale di un numero almeno un fattore 2, è superfluo contare l'esponente con cui il 2 compare nella scomposizione in fattori primi, perché sicuramente sarà maggiore di quello di 5.
L'apporto di fattori 5 è dato dai multipli di 5 minori del numero n di cui si considera il fattoriale; il loro numero è dato dalla parte intera del rapporto tra il numero n e 5 (cioè il più grande intero minore o uguale al rapporto tra n e 5); in simboli:
               ⌊ n / 5 ⌋
Ci sono però multipli di 5 che contengono più di un fattore 5: sono i multipli di 25; in tal caso, sarà necessario contare i 5 "aggiuntivi", dati da
               ⌊ n / 25 ⌋
Lo stesso andrà fatto per i multipli di 125, 625, ...
In generale, quindi, per trovare il numero di zeri con cui finisce un generico n!, si deve riccorrere alla formula:
               ∑ ⌊ n / 5^(i) ⌋
con i che va da 1 a k, con k definito come 5^(k) > n, e cioè come l'esponente da dare a 5 per cui la parte intera di n/5^(k) è 0.
 
Sviluppando la sommatoria per 100! si ha:
n_zeri = ⌊100/5⌋ + ⌊100/25⌋ = 20+4 = 24.
Per 1000!:
n_zeri = ⌊1000/5⌋ + ⌊1000/25⌋ + ⌊1000/125⌋ + ⌊1000/625⌋ = 200+40+8+1 = 249.
 
Samuele