Ed eccoci all'ultima settimana: finalmente ho finito verifiche e interrogazioni e posso dedicarmi al forum. Dunque... Hilbert e Poincaré.
La prima citazione è di David Hilbert (1862-1943), uno dei più grandi matematici di fine Ottocento e del primo Novecento. Suo merito è quello di aver introdotto, con il saggio "Grundlagen der Geometrie" (Fondamenti della geometria), un insieme di assiomi diversi da quelli di Euclide per la geometria euclidea, eliminando le contraddizioni presenti nel modello precedente. Senza trattare nel dettaglio le loro caratteristiche, è interessante notare che per Hilbert, fautore del formalismo matematico, gli oggetti matematici sono del tutto arbitrari (e la matematica è quindi un "gioco privo di significato") e seguono regole formali convenzionali, concordate in partenza. 
Volendo poi riorganizzare i fondamenti dell'intera matematica, Hilbert, che chiaramente non poteva raggiungere da solo questo scopo, propone, nel Secondo Congresso Internazionale di Matematica di Parigi (1900), 23 problemi "per il nuovo secolo", fondamentali per una assiomatizzazione di tutta la matematica; questa è poi stata dichiarata teoricamente impossibile da Gödel con i suoi teoremi di incompletezza.
E ora la citazione: "L'analisi matematica è una sinfonia coerente dell'infinito", tratta dall'articolo "Sull'infinito" del 1925 pubblicato sulla rivista "Mathematische Annalen".
All'interno di una discussione sull'infinito (sulla sua storia e sulla legittimità del suo utilizzo), Hilbert, discutendo dell'infinito matematico, ne giustifica, per così dire, l'uso massiccio che l'analisi ne fa, perché questa si può appoggiare sulla rigorosa teoria dell'infinito derivante dalla teoria degli insiemi di Cantor: "L'infinito fu posto sul trono", conclude Hilbert, "e iniziò un'era di grandi trionfi. [...] Nessuno potrà cacciarci dal paradiso che Cantor ha creato per noi."
Interpretando "sinfonia" etimologicamente, e cioè "insieme di voci", l'analisi matematica descritta da Hilbert appare come studio legittimo (il "coerente" allude probabilmente ai dibattiti del tempo circa la possibilità di trattare, a volte anche in modo piuttosto "libero", l'infinito) di oggetti, che avviene scomponendoli nei loro costituenti infinitesimi, i quali, singolarmente, costituiscono le voci che vanno a formare, ricomposte, la sinfonia, l'oggetto stesso.
Hilbert è al centro di un'aneddotica abbastanza curiosa, che delinea un personaggio brillante e stravagante; la sua concezione della matematica - e del ruolo del matematico come studioso/artista - emerge da un commento riguardo uno studente che aveva lasciato matematica per fare il poeta: "Non sono sorpreso. Non aveva abbastanza immaginazione per diventare un matematico".
E con questa si può passare alla seconda citazione, di Henri Poincaré (1854-1912), definito "l'ultimo universalista" per il suo interesse attivo e soprattutto proficuo posto in ogni campo della matematica. I suoi contributi più importanti sono la formulazione della congettura che porta il suo nome (topologia), la scoperta di un sistema caotico deterministico nell'ambito del problema dei tre corpi (teoria del caos), la fondazione della topologia, l'introduzione del principio di relatività con l'espressione moderna delle trasformazioni di Lorentz.
Anche il Poincaré-persona, così come Hilbert, è notevolmente interessante, tanto che la sua organizzazione mentale è stata oggetto di studio, oltre che di se stesso (studiava le proprie abitudine e le presentò in una conferenza), dello psicologo francese Toulouse, che, nel 1910, pubblica "Henri Poincaré", un saggio che ne descrive le abitudini e gli schemi mentali: è curioso sapere che Poincaré non ha mai lavorato ad un problema per molto tempo, perché pensava che, mentre ne studiava un altro, il suo subconscio continuasse ad elaborare quello precedente.
Il suo interesse per la filosofia della matematica si esprime in un articolo sui fondamenti della geometria da cui è tratta la citazione riportata: "Uno scienziato degno di questo nome, e soprattutto un matematico, prova lavorando la stessa impressione di un artista: la gioia che gli dà il suo lavoro è altrettanto grande e della medesima natura".
Non servono qui chiarimenti: secondo Poincaré, e non si può che essere d'accordo, la scienza, e in particolare la matematica, è arte, e il matematico è un artista: il matematico, così come l'artista, compiuta la propria opera, prova enorme soddisfazione, completezza, felicità che, Poincaré lo sottolinea, sono della stessa natura di quelle derivate dall'arte propriamente detta.
E, anzi, riprendendo l'aneddoto di Hilbert, l'arte (nel suo caso la poesia) è un gradino sotto la matematica, autentica attività creativa, proficua solo se condotta con l'ausilio dell'immaginazione (si ricordi il formalismo hilbertiano), che dev'essere più vivace di quella di un poeta, dacché il matematico deve creare "mondi" nuovi, e non semplici descrizioni della realtà.
E con questo ho finito.
Samuele :)