lumaca
Una lumaca si arrampica su una colonna cilindrica alta 8 metri , la cui circonferenza di base è lunga 3 metri. Sapendo che partendo dalla base raggiunge la cima compiendo due giri intorno alla colonna e che, arrivata in cima, si trova esattamente sopra il punto da cui era partita, quanto è lunga la strada più breve che la lumaca può aver percorso ?
Integrale
Intervengo per presentare un metodo risolutivo alternativo a quello immediato e elegante già proposto. Ho sfruttato geometria e analisi.
La forma grafica imponeva l'uso di LaTeX, da cui il link al pdf:
https://www.dropbox.com/s/lzlvpig00d9chmb/lumaca.pdf?dl=0
Samuele
Il percorso compiuto dalla lumaca è un'elica ossia una curva rappresentata da una linea avvolta con angolo costante attorno ad un cilindro.
Partendo dal punto in cui la lumaca inizia ad arrampicarsi stendo la superficie cilindrica su un piano; si forma un rettangolo con altezza pari al passo, ossia la distanza tra due punti sulla stessa verticale e con base pari alla lunghezza della circonferenza. Il valore della spira è pari alla diagonale del rettangolo costruito ed è possibile trovarla con il teorema di pitagora.
Visto che la lumaca deve compiere due spire complete per raggiungere la sommità della colonna con il percorso più breve, le due spire possono essere uguali o una maggiore e l'altra minore; facendo un paio di esempi è possibile notare che il percorso più breve è quello con le spire uguali.
passo=4m C=3m
spira= sqrt(4²+3²)=5m
cammino percorso = 2spire= 2*5=10m