Sei un soldato in combattimento, rannicchiato in una trincea ( 4H e 3A le conoscono bene ! )
Sai per certo che è rimasto UN SOLO soldato nemico sul campo di battaglia, a circa 350 m di distanza.
Sai anche che se il nemico è un soldato normale, ha il 30% di probabilità di colpirti con un tiro da quella distanza.
Ma se invece è un tiratore scelto allora la sua probabilità di colpirti con un tiro da quella distanza è dell'80%.
Ti consoli pensando che i tiratori scelti sono rari, quindi è probabilmente solo un soldato normale. Provi a sbirciare con la testa fuori dalla trincea.
BAM! Un proiettile colpisce il tuo casco militare e ti rannicchi subito nella trincea.
Pensi: "I tiratori scelti sono rari, ma quel tipo mi ha colpito con un proiettile da 350 m di distanza. Forse è un tiratore scelto!"
Dopo pochi minuti, ti fai coraggio e sbirci di nuovo con la testa fuori dalla trincea.
BAM! Un altro proiettile rimbalza sul tuo casco! Giù di nuovo nella trincea.
" ecco," - pensi - "questo dev'essere proprio un tiratore scelto! Farei meglio a chiamare aiuto."
Qual è la probabilità della tua ipotesi che il soldato nemico sia un tiratore scelto?
risposta al quesito 90
Buongiorno.
La soluzione di questo quesito si deve a mio parere suddividere in due stadi consecutivi: il primo è il calcolo della probabilità del singolo evento( ossia il soldato che viene colpito) poi, in considerazione del fatto che i due eventi (che sono comunque congruenti tra loro in quanto il tiratore va a bersaglio entrambe le volte che il soldato si affaccia dalla trincea) sono tra loro indipendenti ( dal momento che aver colpito la prima volta il bersaglio non influenza, ai fini matematici, la probabilità di colpirlo una seconda volta), si procederà al calcolo della probabilità dell’evento di un duplice successo su due tentativi di tiro.
Partiamo con la fase 1, ossia il calcolo della probabilità che il tiratore sia un tiratore scelto dal momento che manda a segno il bersaglio.
Se il tiratore è scelto, la probabilità di colpire il bersaglio è dell’80%, mentre se il tiratore è un soldato comune la probabilità di successo del tiro è del 30%.
Innanzitutto la probabilità iniziale che il tiratore sia scelto o meno: l’indicazione che i tiratori scelti sono rari NON è utile ai fini del calcolo, dal momento che il soggetto ne3mico rimasto è uno solo, e può essere O un soldato comune O un tiratore scelto. Abbiamo quindi 2 casi possibili TRA LORO OPPOSTI per un solo soggetto, quindi la probabilità di partenza è del 50%, 0ssia ½.
Ora, dal momento che siamo stati colpiti, che il soldato nemico sia un tiratore esperto o no, si realizza la probabilità di successo. In particolare:
Se il tiratore è un soldato comune (50%), si realizza la probabilità del 30%;
Se il soggetto è un tiratore scelto (1-50/100= 50/100, quindi 50%), si realizza la probabilità dell’80%.
Queste due condizioni rappresentano la probabilità totale del tiro mandato a segno, che è effettivamente avvenuta, sulla quale dovremo calcolare la probabilità che il tiratore sia stato un tiratore scelto.
La probabilità del successo nel singolo caso è quindi:
P= (80/100*50/100)/(80/100*50/100 + 50/100*30/100)= 0,4/0,55= 0,7273
Ora passiamo alla fase successiva, considerando che cosa avviene dal momento che il bersaglio è colpito per 2 volte. In questo caso gli eventi sono indipendenti, come l’estrazione senza re immisione da un insieme di oggetti, come un insieme di palline.
Quindi abbiamo la probabilità totale: e=AΛB CON B=A quindi E= A^2
Avremo quindi :
p tot= (p)^2= (0,723)^2= 0,528
Non sono tuttavia sicuro del risultato, anche se esso concorda con il fatto che, anche se il tiratore ha l’80% di successo sul singolo tiro, la probabilità di realizzare più di un tiro mandato a segno (indipendentemente dal fatto che i due tiri siano indipendenti) è inferiore. Attendo risposta.
Anche qui si deve ricorrere al teorema di Bayes.
Sia p(N) la probabilità che il nemico sia un soldato normale e p(S) che sia un tiratore scelto; sia inoltre p(C | N) la probabilità che un soldato normale riesca a colpire a grande distanza e p(C | S) quella che ci riesca un tiratore scelto.
Si sa, in più, che si è stati colpiti due volte: la probabilità che un soldato normale o un tiratore scelto riescano a colpire due volte è il quadrato di quella di base (perché gli eventi sono indipendenti); sia C' l'evento "colpiti due volte".
La formula di Bayes per questa situazione è:
p(S | C') = p(C' | S)*p(S) / (p(C' | S)*p(S) + p(C' | N)*p(N)).
Allora, passando ai dati numerici,
p(C | N) = 3/10 p(C | S) = 8/10
p(C' | N) = 9/100 p(C' | S) = 64/100.
Non sono note p(N) e p(S); dal momento che i due eventi N e S sono complementari, si ha p(N) = 1 - p(S).
Si può esprimere p(S | C') in funzione di p(S):
p(S | C') = 64*p(S) / (55*p(S) + 9).
Rappresentando la funzione omografica è possibile valutare la probabilità di essere stati colpiti da un tiratore scelto; in ogni caso, tutto dipenderà da quanto si ritiene probabile che il nemico sia un tiratore scelto: per questo, la probabilità trovata è "soggettiva".
Con questo ho rimediato all'assenza dal forum per così tanto tempo dovuta a impegni scolastici (e non solo).
Buona settimana e buona visione de "Gli orizzonti sognati" a tutti i visitatori,
Samuele