Progressione geometrica
Penso sappiate la definizione di " progressione geometrica ".
Qualcuno di voi la ricordi ( precisando il concetto di ragione ).
Ecco la proposta :
Sia a1,a2,a3,a4... an... una progressione geometrica di ragione q.
Siete capaci di dimostrare che anche la successione 1/a1 1/a2 1/a3 1/a4.....1/an è ancora una progressione geometrica ?
E qual è la sua ragione ?
e successivamente ( partendo sempre dalla prima progressione ) :
la progressione a1 + h, a2 + h, a3 + h ....an + h, con h diverso da zero, è ancora una geometrica ?
E per questa prima settimana ho concluso. Aspetto i vostri commenti , spero numerosi.
wm
Una progressione geometrica è una sequenza di numeri tale che ognuno di essi sia in rapporto costante con il precedente tramite un numero. Questo numero costante prende il nome di ragione.
Se a1, a2, a3, a4 ... a(n) è una progressione geometrica di ragione q, allora:
a2=a1*q
a3=a2*q=a1*q2
E generalizzando:
a(n)=a(n-1)*q
a(n)=a(n-b)*qb
Proviamo allora a dimostrare che anche la progressione 1/a1, 1/a2, 1/a3, 1/a4 ... 1/a(n) è geometrica.
Se nel caso precedente abbiamo detto che a(n)=a(n-1)*q, allora si potrà anche dire che q=a(n)/a(n-1) .
In questo caso, osservando i denominatori delle frazioni (che sono gli elementi della progressione geometrica), si nota essi sono gli elementi della progressione precedente, perciò varrà la seguente equazione:
1/a(n)=(1/a(n-1))*(1/q) oppure 1/a(n)=1/a(n-1)*q
Chiamando poi con c la ragione della seconda successione geometrica si ottiene che:
1/a(n)=1/a(n-1)*(c)
Si può poi calcolare c confrontando le equazioni 1/a(n)=1/a(n-1)*q e 1/a(n)=1/a(n-1)*(c), ottendendo che c=1/q.
Per quanto riguarda la seconda parte, riferendosi alla prima progressione geometrica e presupponendo che h sia diverso da 0 è possibile capire che solo in un caso la progressione a1+h, a2+h, a3+h, a4+h ... a(n)+h può essere definita geometrica.
Per far ciò richiamiamo la formula usata in precedenza a2=a1*q e introduciamo r, la ragione della progressione, e l'equazione:
a2+h=(a1+h)*r
Confrontando le due formule seguirà che:
(a1*q)+h=(a1+h)*r
a1q-a1r=hr-h
a1*(q-r)=h(r-1)
Perciò la progressione sarà geometrica solo nel caso in cui si verifichino contemporaneamente due condizioni: