Ecco le soluzioni ai quesiti che vi hanno tolto il sonno nelle scorse settimane...
Quesito 1. Alessio ha dato la risposta corretta ed il procedimento è rigoroso; la soluzione per due dadi è effettivamente 5/12. Per i tre dadi, fate voi...
Quesito 2. Benedetta ha risposto correttamente. La soluzione è: A scapolo, B scapolo, C sposato. Non ci sono altre possibilità perché in qualsiasi altra situazione si cadrebbe in contraddizione.
Quesito 3. Il numero autoreferenziale è 6210001000. Complimenti ancora ai ragazzi che hanno dato la soluzione.
Quesito 4. La speranza matematica è s1p1 + s2p2 + s3p3 = 120/40+144/40-336/40 = -1,8 €. Il gioco, quindi, non è equo.
Quesito 5. La soluzione è: l'oro del visir si trova nello scrigno B. Matteo Cavalleri (5^A) ha dato una soluzione mediante passaggi diretti e rigorosamente attendibili esaminando tutti i casi possibili. Alessandro Ceresa (5^A) ha dato invece un'elegante dimostrazione per assurdo. Anche Benedetta (3^H) ha dato la soluzione con passaggi accettabili. La mamma di Benedetta ha lavorato più che altro sull'intuito. Da un punto di vista logico la dimostrazione non è completa.
Complimenti a tutti
Ed ora, i quesiti settimanali.
Passeggiata pitagorica
Pitagora ed Euclide, dopo aver a lungo discusso sulle rette parallele, si salutano. Pitagora, più lentamene, si dirge ad est. Euclide, più velocemente, cammina verso nord a una velocità pari a 3/2 di quella di Pitagora. Dopo 5 minuti Euclide si ricorda che deve comunicare a Pitagora una soluzione fondamentale al problema prima discusso, perciò si volta e si dirige esattamente verso quello che sarà il loro punto d'incontro. Dopo quanto tempo s'incontreranno?
metodo goniometrico
sE=450v
sP=300v
scompongo la velocità di euclide nelle due componenti orizzontale e verticale.
posto a l'angolo tra la direzione della velocità di pitagora e quella di euclide si ottiene:
vEx=sin(a)*3/2v e vEy cos(a)*3/2v (con v intendo la velocità di pitagora).
in un tempo t la vEx deve percorrere uno spazio di 450v mentre la vEy uno spazio di 300v + vt.
pertanto metto in sistema le due equazioni: t * sin(a) =300, t*(3/2cos(a)-1)=300
l'angolo misura 22,62° e il tempo è 779,99 secondi = 13 minuti.
cercherò di essere più breve del quesito 8. comunque: usando la formula dello spazio percorso in un moto rettilineo ottengo:
sp=v*t se=3*v*t/2
con v=velocità di pitagora, sp=spazio percorso da pitagora e se=spazio percorso da euclide.
dopo 5 minuti quindi sp=5*v e se=15*v/2; a questo punto, essendo perpendicolari le direzioni dei due, il triangolo che si forma nel momento in cui euclide decide di tornare indietro è rettangolo e lui ne percorre l'ipotenusa. tenendo a mente che mentre euclide cammina, cammina anche pitagora si può calcolare lo spazio percorso con un'equazione in due incognite:
3*v*t/2=radice quadrata( se2+sp'2)
dove se è rimasto invariato dato che euclide non avanza più in quella direzione e sp'=sp+v*t. svolgendo i calcoli sarà possibile dividere tutto per v2 e ottenere:
t2-8*t-65=0 e quindi t=13 minuti. non ho solo capito il ruolo delle parallele del titolo. e ora che il sopracciglio può riposare, buona continuazione.