Dalla definizione classica di probabilità, questa è uguale al numero dei casi favorevoli diviso per quello dei casi totali.
In questa situazione, il numero dei casi totali è dato dalle combinazioni con ripetizione di s scatole di classe b: concettualmente, associamo ad ogni pallina una scatola (che può associarsi a più palline, ed è per questo che ammettiamo la ripetizione) e, poiché scatole e palline non hanno un ordine privilegiato né sono diverse tra loro, usiamo le combinazioni.
Il numero dei casi totali sarà, ricordando la formula per le combinazioni con ripetizione (uso qui la notazione di LaTeX dei coefficienti binomiali per maggiore chiarezza: \binom{a}{b}, dove i termini in parentesi graffe sono "a su b"):
C'_{s,b} = \binom{s+b-1}{b}
Ora, resta da calcolare il numero dei casi favorevoli, nella situazione in esame quello dei casi in cui, date s scatole, le prime due sono vuote.
Se la prima scatola è vuota, allora tutte le b palline sono state messe nelle altre s-1 scatole. Ma, se è vuota anche la seconda, le b palline sono messe nelle altre s-2 scatole. In sostanza, il numero dei casi favorevoli è quello delle combinazioni con ripetizione di s-2 elementi, le scatole, di classe b, le palline (questo per lo stesso motivo chiarito nel trattare i casi totali).
Allora, il numero di casi favorevoli è
C'_{s-2,b} = \binom{s+b-3}{b} .
A questo punto, la probabilità sarà
p = (C'_{s-2,b}) / (C'_{s,b})
che, svolgendo i fattoriali e semplificando, risulta essere uguale a
p = (s-1)(s-2) / (s+b-1)(s+b-2) .
 
A tutti buona sera,
Samuele :)

Ripensando al quesito, mi sono accorto di aver trovato la probabilità di avere due scatole vuote senza sapere a priori che la prima lo sia.
In realtà però il quesito chiede la probabilità che, sapendo già che la prima è vuota, la seconda lo sia.
Quindi si manterrà il numero di casi favorevoli considerati nella risposta precedente, ma bisognerà correggere il numero di casi totali; questi saranno non le combinazioni con ripetizione di s elementi di classe b, ma, considerando che già si sa che la prima scatola è vuota, le combinazioni con ripetizione di s-1 elementi (infatti lo stesso numero di palline si metteranno in s-1 scatole) di classe b.
Allora i casi totali sono
C'_{s-1,b} = \binom{s+b-2}{b}
E la probabilità sarà
p = C'_{s-2,b} / C'_{s-1}{b} = (s-2) / (s+b-2) .
 
Buon giorno,
Samuele :)