Già i Greci avevano compreso come i suoni prodotti da corde tra loro in rapporti particolari siano a loro volta in rapporti piacevoli all'ascolto; la teoria della scuola Pitagorica permetteva già di accordare strumenti musicali. Oggi il temperamento (la modalità di intonazione) utilizzato è quello equabile, che ha avuto in Bach, con il "Clavicembalo ben temperato", la sua definitiva affermazione, ed è chiaramente diverso da quello antico, fondandosi su rapporti che dipendono dalla radice dodicesima di 2.
Ma non divaghiamo. I rapporti individuati in antichità tra lunghezza delle corde e suono si basano su rapporti dei cosiddetti numeri armonici, appartenenti a progressioni armoniche: il nome di dette progressioni deriva appunto da questa applicazione.
Consideriamo allora la progressione armonica elementare, in cui il denominatore aumenta di un'unità per termine.
Se prendiamo tre corde ugualmente tese e di lunghezza pari a una costante moltiplicata per 1/4, 1/5 e 1/6, notiamo che, suonate insieme, danno luogo ad una triade maggiore. Infatti sappiamo, dalla teoria musicale, che questo accordo risulta dalla composizione di un intervallo di terza maggiore e di uno di terza minore.
Consideriamo il rapporto della lunghezza delle prime due corde:
               (1/4)/(1/5) = 5/4
questo dà luogo ad un intervallo di terza maggiore;
il rapporto tra la seconda e la terza corda:
               (1/5)/(1/6) = 6/5
produce una terza minore.
 
Passiamo alle richieste prettamente matematiche.
La prima. Dati due termini successivi di una progressione armonica, la ragione della progressione aritmetica associata si ricava facilmente:
               (a_2)^(-1) - (a_1)^(-1)
da cui, poi, si possono calcolare gli altri termini.
Per la progressione data:
               r = 2 - 3/2 = 1/2;
e allora
               a_3 = ( 2 + 1/2 )^(-1) = 2/5
               a_4 = ( 5/2 + 1/2 )^(-1) = 1/3
               a_5 = ( 3 + 1/2 )^(-1) = 2/7.

Seconda richiesta. 
Dati due termini qualsiasi, si può determinare l'ennesimo termine mediante la relazione:
               a_n = 1 / ( ( 1/(a_2) - 1/(a_1) )*(n - 1) + 1/(a_1) ).
Bisogna, infatti, trovare la ragione della progressione aritmetica associata, moltiplicarla per (n-1), trovando così la differenza tra l'ennesimo termine e il primo, aggiungerci il primo termine della progressione associata e, per trovare l'ennesimo termine della progressione armonica, farne il reciproco.
 
Samuele

RISPOSTA AL QUESITO NUMERO 4:
Salve prof.
Innanzitutto, il quesito mi è piaciuto.
Poi però mi ha preso in modo particolare, e quindi nel punto 3, quando si chiedeva il perché la progressione fosse armonica, ho risposto illustrando l’algoritmo ed esprimendolo con 3 diverse formule.
Ma andiamo con la mia risposta. Ecco qua. Una piccola nota: L’ordine di risposta non è esatto, per esigenze dimostrative che spero emergeranno.
PUNTO 2)
Posti a1= 2/3  e a2=1/2, i loro reciproci mi danno, come da definizione, i primi due termini della progressione aritmetica(armonica) in esame. Andando quindi ad operare un elevamento alla -1 otteniamo i primi due termini A e B:
A=a1^-1= (2/3)^-1= 3/2=15/10=1,5   e    B=a2^-1=(1/2)^-1= 2

Si identifica ora il fattore di progressione k , operando la differenza dei termini:
2-(3/2)= (4-3)/2=1/2=0,5      V        2-1,5=0,5 
Proseguendo ore con i termini a3, a4 ed a5 (che io ho chiamato C,D ed E), otteniamo:
C=(B+k)^-1=( 2+k)^-1=( 2+1/2)^-1= (5/2)^-1=2/5;
D=(C+k)^-1=(5/2+1/2)^-1=(6/2)^-1= 3^-1=1/3;
E=(D+k)^-1=(3+1/2)^-1=(7/2)^-1=2/7;
 
PUNTO 3)
Volendo prolungare la progressione fino ad n termini, come richiesto, si dovrebbe prendere l’ultimo termine dato, in questo caso a2, e sommarvi n-volte il fattore di progressione k, ossia, per il termine n-esimo, chiamato N, avremo:
N= a2+kn     essendo pero a2= a1+k, avremo :   N=a1+k+kn →N=a1+(1+n)k  ;
 
PUNTO 1)
La risposta a questa domanda non è speciale dal punto di vista della spiegazione.
Si può dire che la progressione in esame è armonica poiché il fattore k di progressione è costante e valido per ogni termine della progressione in base alla loro distanza m. Si dice quindi che la differenza di valore dei termini può essere espressa come (p-1)k, con p corrispondente alla somma dei termini compresi tra i due termini  presi in esame (a1,a2……….an)(tra a2 ed an ci sono m termini).
Ed ora veniamo alle altre 2 regole che ho promesso.
Si dice quindi che la differenza tra il valore dei due termini è data dal valore del termine precedente moltiplicato per (m+1)k, dove k è il fattore di progressione ed m è il numero di termini interposti tra i due termini in esame.
Posti per esempio i termini A,B e C, di valore 3/2, 2 e 5/2:
tra 3/2 e 2 non ci sono termini. Ne consegue che m=0; La differenza tra 2 e 3/2 è quindi: (0+1)k= ½. Infatti 2-3/2 è ½.
tra 3/2 e 5/2 c’è un termine interposto. Ne consegue che m=1; La differenza tra 3/2 e 5/2 è allora: (1+1)k= 2k= 1; infatti 5/2-3/2=1.
La regola si può ancora enunciare come    (p-1)k
dove p è la somma di tutti i termini compresi più i due termini in esame, e k è il fattore di progressione. Dimostrandolo abbiamo:
     (m+1)k= (p-1)k   con p=m+2 (tutti i termini in mezzo più i 2 in esame)
     (m+1)k=(m+2-1)k
     m+1=m+1→0=0 V
Ecco, ho finito. L’ho tirata un po’ lunga, me ne scuso. Speriamo almeno di aver detto cose sensate, se no che bella figura da cioccolataio che faccio!!!!! Molto bene, allora attendo risposta. Grazie.  Paolo
P.S: Io non suono nessuno strumento anche se la musica mi piace(come a tutti). Ma preferisco questa musica più…”matematica”!