Buongiorno! Ho trovato un po' di tempo da dedicare al forum.
Ecco il disegno della situazione proposta:
https://www.dropbox.com/s/rlinemnghnvdq61/quadrato.pdf?dl=0
Prima di affrontare il problema, è bene notare che il valore di x è limitato all'intervallo (0, 90°).
Si consideri il triangolo DCP; si applichi il teorema dei seni:
          a / sen(180-2x) = b / sen(x).
Si faccia lo stesso con il triangolo APD:
          a / sen(15+x) = b / sen(75).
Sviluppando le equazioni, messe a sistema, risulta (evito di riportare i calcoli):
          a = 2b cos(x)
          a = b [ (2 - sqrt(3)) cos(x) + sen(x) ].
Da cui, eguagliando i secondi membri:
          sen(x) - sqrt(3) cos(x) = 0.
Risolvendo l'equazione lineare, usando, ad esempio, il metodo dell'angolo aggiunto, si ha:
          sen(x - 60°) = 0,
da cui risulta 
          x = 60°,
per le limitazioni imposte all'inizio.
Gli angoli PDC, DCP e CPD sono tutti uguali a 60°, e il triangolo DCP è perciò equilatero.