Prima di tutto il disegno:
https://www.dropbox.com/s/x05foxziqxyonuz/cerchio.pdf?dl=0
Si supponga che il valore della corda AB sia dato; dato un punto C libero di muoversi sulla circonferenza costruita, il valore massimo della lunghezza di OC si ha quando C appartiene all'asse di AB, ovvero quando il segmento OC è perpendicolare alla corda scelta.
Questo di può dimostrare ricorrendo alla geometria elementare.
È evidente che, se il punto C è interno al primo cerchio, il valore di OC è minore di 1 (raggio del primo cerchio), e se è esterno il valore di OC è maggiore; si considera allora solo il caso in cui C sia esterno al primo cerchio.
Si consideri il triangolo OCC' (dove in figura si indica C il punto che verrà usato successivamente nella risoluzione del quesito e C' un punto accessorio libero di muoversi sulla seconda circonferenza); dalla disuguaglianza triangolare, è noto che, indicando con abs(x) il valore assoluto di x,
          OC < abs( OC' + CC' )
          OC > abs( OC' - CC' );
sviluppando i valori assoluti, risulta, mettendo a sistema le due disequazioni:
          OC' + CC' > OC     ⋁     OC' + CC' < - OC
          OC' - CC' > - OC    ⋁     OC' - CC' < OC;
ricavando OC' dalle quattro equazioni, si ha
          OC' > OC - CC'     ⋁     OC' < - OC - CC'
          OC' > - OC + CC'  ⋁     OC' < OC + CC'.
Si supponga, per assurdo, che il segmento OC' sia maggiore di OC: al sistema, si aggiunga allora l'equazione 
          OC' > OC.
Risolvendo il sistema rappresentando gli intervalli, considerando OC' come incognita, questo risulta impossibile, da cui, non potendo negare la disuguaglianza triangolare, deriva la falsità dell'ultima disequazione aggiunta, e quindi la verità della tesi secondo cui OC ha lunghezza massima quando è perpendicolare alla corda.
Non resta che trovare a che distanza dal centro una corda fa sì che la lunghezza OC sia massima.
Sia x il segmento OO'; per la costruzione geometrica svolta, il valore di x deve appartenere all'intervallo (0,1). Per il teorema di Pitagora, il segmento O'B, raggio del secondo cerchio, è 
          O'B = sqrt ( 1 - x^2 ).
Anche O'C = O'B, e perciò il valore di OC è
          OC = x + sqrt ( 1 - x^2 ).
Il valore di OC è quindi una funzione di x; la sua derivata è, detto OC = f(x),
          f'(x) = 1 - ( x / sqrt(1 - x^2)).
Studiando il segno della derivata, risulta che
          f'(x) > 0 per x appartenente all'intervallo (-sqrt(2)/2 , sqrt(2)/2).
Confrontando l'intervallo di positività della derivata con il dominio della funzione, si ricava che l'unico punto stazionario è per x = sqrt(2)/2, e che questo è un punto di massimo.
Il valore massimo della lunghezza del segmento OC si ha quando x = sqrt(2)/2, ed è pari alla radice di 2.
 
Buon fine settimana prolungato,
Samuele :)