Due cacciatori
Due cacciatori, Patrizio e Giuseppe, durante una partita di caccia vedono un orso e gli sparano contemporaneamente.
L'orso muore, ma c'è un solo foro di proiettile sul suo corpo.
Nelle condizioni del caso :
Patrizio centra il bersaglio con probabilita dell'80 %
Giuseppe centra il bersaglio con probabilità del 40 %
I due amici vendono la pelle dell' orso per 70 rubli.
Qual è il modo matematicamente corretto di dividere la somma tra Patrizio e Giuseppe ?
( ovviamente conveniamo che sia impossibile che i due proiettili siano entrati nello stesso foro....non vorrei che qualche studente fantasioso azzardi questa ipotesi... )
Interessante vero ?
risposta quesito 58
Eccomi, ci sono stavolta,un po' in ritardo, ma meglio tardi che mai!!!
Il quesito sembra ricalcare quello che ci è stato proposto in 4°b qualche giorno fa, e che sarebbe stato nell'esame di maturità...
Supponiamo che Patrizio coòpisca il bersaglio, e chiamiamo questo evento A. La probabilità di A ossia p(A)è = 0,8.
Identicamente faremo per Giuseppe, che avrà una probabilità p(B)=0,4.
Introduciamo inoltre l'evento E per cui l'orso sarebbe stato ucciso da un solo proiettile, sparato da uo dei due cacciatori.
Per avere i dati della spartizione dovremo calcolare, la probabilit che sia stato uno dei due a sparare, per esempio Patrizio, ossia la probabilità che Patrizio abbia sparato subordinatamente al fatto che l'orso è stato ucciso da un solo proiettile, ossia subordinatamente all'evento E.
Dovremo quindi calcolare p(A/E)= p(A intersecato E)/p(E)
Ora il punto è calcolare p(E). Ci viene in aiuto il teorema della probabilità totale, per cui p(E) diventa : p(A intersecato non B)+p(non A intersecato B). Posto che non A= 1-p(A) e non B =1-p(B), procediamo con i calcoli:
p(A/E)= p(A intersecato B)/p(E)=
p(A intersecato B)/p(A intersecato non B)+p(non A intersecato B)=
p(A)*p(B)/[p(A)*(1-p(B)]+[(1-p(A))*p(B)]=
0,8*0,4/[0,8*(1-0,4)]+[(1-0,8)*0,4]=
0,32/[0,8*0,6]+[0,2*0,4]=
0,32/0,48+0,08= 0,32/0,56= 0,57142857*100=
il 57,143% della somma va a Patrizio, e precisamente :
0,57142857*70= 40 rubli esatti.
Speriamo fili tutto liscio.
Il problema afferma che uno solo dei due cacciatori ha colpito l'orso.
Le possibilità dunque sono due: Patrizio l'ha colpito e Giuseppe ha sbagliato, e il contrario.
Date le probabilità di centrare il bersaglio dei due, si ha, detti P e G i cacciatori,
p(P ⋀ non-G) = p(P) * (1 - p(G)) = 4/5 * 3/5 = 12/25;
p(G ⋀ non-P) = p(G) * (1 - p(P)) = 2/5 * 1/5 = 2/25.
Applicando la definizione classica di probabilità, si dovrà dividere la probabilità che uno solo dei due abbia colpito l'orso, appena scritta, per quella che uno o l'altro l'abbia fatto, e cioè
p(P ⋁ G) = p(P⋀non-G) + p(G⋀non-P) = 12/25 + 2/25 = 14/25.
La probabilità che sia stato Patrizio a colpire l'orso è
p(P | O) = p(P⋀non-G) / p(P⋁G) = 12/25 / 14/25 = 6/7.
Poiché i due eventi sono complementari,
p(G | O) = 1/7.
La suddivisione della somma ricavata deve rispettare la probabilità calcolata; Patrizio prenderà dunque 60 rubli e Giuseppe 10 rubli.