Prima di proporvi il quesito 14 voglio , miei cari, chiedervi se conoscete il " pensiero laterale ". Ho deciso di discuterne con voi perchè l'emozione che si prova risolvendo un problema, anche piccolo, con il pensiero laterale, è grande e positiva. Vi propongo alcune definizioni, ma voi siete invitati a scrivermi quello che sapete.
Innanzitutto è un'importante esperienza cognitiva, e non solo.
Definizione 1 : " You cannot dig a hole in a different place by digging the same hole deeper "
Definizione 2 : " Lateral thinking is for changing concepts and perceptions instead of trying harder with the same concepts and perceptions "
Se utilizziamo il pensiero laterale, le soluzioni hanno le seguenti caratteristiche:
- capitano di rado e non sono un frutto che si raccoglie con facilità
- richiedono un duro lavoro sul problema ed una ferma volontà di risolverlo
- il duro lavoro, quando si riceve l'illuminazione. è del tutto inutile
- compaiono all'improvviso
- non sono collegate con quello che si pensava prima che comparissero
- presentano il problema da un punto di vista nuovo
- se il problema è di tipo logico-matematico ed è possibile risolverlo con strategie non laterali, la soluzione finale ( se esiste ) è la stessa
Lateral thinking o " pensamiento lateral " è caldo e invitante.
Quindi ecco il quesito ( matematico )
Equazioni divertenti
Risolvi :
prima equazione:
3 = sqrt ( x + ( sqrt ( x + sqrt ( x + sqrt ( x +..... ( infinite volte ).)))))
( cioè 3 uguale a radice quadrata di questo radicando: x + la radice quadrata di questo radicando: x più la radice quadrata di questo radicando: x + ecc.....)
seconda equazione:
2 = x^x^x^x^ .... ( cioè 2 uguale a x elevato a x elevato a x ...infinite volte!!! )
coraggio!!!
sono riuscito a
sono riuscito a risolvere solo la prima
elevando al quadrato entrambi i membri risulta:
9=x+sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x+....
ma 3=sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x+....
quindi 9=x+3
la soluzione è x=6
PRIMA EQUAZIONE
Ho trovato due metodi per risolverla.
Primo metodo (algebrico) :
3 = sqrt ( x + ( sqrt ( x + sqrt ( x + sqrt ( x +..... ( infinite volte ).)))))
Elevando al quadrato entrambi i membri risulta:
9 = x + sqrt ( x + ( sqrt ( x + sqrt ( x + sqrt ( x +..... ( infinite volte ).)))))
Ma il termine sqrt ( x + ( sqrt ( x + sqrt ( x + sqrt ( x +..... ( infinite volte )))))) al secondo membro dell’equazione è ancora uguale a 3 quindi:
9 = x + 3
x=6
Secondo metodo
Per affrontare il problema da un altro punto di vista si può ricorrere a due proprietà del numero phi :
Innanzitutto l’equazione ricorda questo modo di scrivere il numero phi:
phi = sqrt(1+sqrt(1+sqrt(1+…)))
Indichiamo con A sqrt ( x + ( sqrt ( x + sqrt ( x + sqrt ( x +..... ( infinite volte ).)))))
Ricorriamo ora ad un'altra proprietà del numero phi:
phi^2=phi+1
Nel nostro caso diventa
A^2=A+x
Risolvendo l’equazione di secondo grado (e scartando la soluzione negativa, come accade per il numero aureo):
A:=1/2*(1+sqrt(1+4x))
Poniamo tale quantità uguale a 3: il risultato è ancora x = 6.
SECONDA EQUAZIONE
2 = x^x^x^x^ .... ( cioè 2 uguale a x elevato a x elevato a x ...infinite volte)
Qui ho trovato una solo metodo per risolverla (e non so quanto c’entri con il pensiero laterale):
Applichiamo il logaritmo naturale a entrambi i membri, risulta:
ln(2)=(ln(x^x^x^x^ .... ( cioè 2 uguale a x elevato a x elevato a x ...infinite volte)))
Per le proprietà dei logaritmi diventa (e considerando che x è elevato ad x infinite volte) :
ln(2)=(ln(x)*(x^x^x^x^ .... ( cioè 2 uguale a x elevato a x elevato a x ...infinite volte)))
ma poiché x^x^x^x^ .... = 2 diventa:
ln(2)=ln(x)*2
Risolvendo:
ln(x)=1/2*ln(2)=ln(sqrt(2))
x = sqrt(2)
Arrivederci, Alessio