Quesito n 15* " Teoremi e congetture "
Prima parte
Riprendiamo qualche definizione.
Indico Hp come ipotesi di un teorema e Th come tesi dello stesso teorema.
Def: Hp -> Th teorema diretto
Th -> Hp teorema inverso
non ( Hp ) -> non ( Th ) teorema contrario
non ( Th ) -> non ( Hp ) teorema contrapposto
Domande:
a.La dimostrazione per assurdo a quale dei quattro casi si applica ( supponendo che non voglia una dimostrazione del diretto ) ?
b.Allora significa che se il teorema diretto è vero è vero anche......................
c.E se fosse vero il contrario sarebbe vero anche........................perchè è il suo...............................
d.Il contrario del contrapposto è.................................................
e.L'inverso del diretto del contrario è..........................................
f.Il contrapposto del contrapposto dell'inverso è.........................................
g.Sai darmi un esempio di un teorema diretto vero che ha anche vero il suo inverso quindi anche il suo contrario e necessariamente il suo contrapposto? Enunciali tutti e quattro.
h.Sai darmi un esempio di teorema diretto vero che ha l'inverso falso?
Seconda parte
i.Cos'è una congettura?
l.Che differenza esiste tra congettura e teorema?
m.Conosci nella storia della matematica qualche congettura?
n. Vuoi enunciarla in modo rigoroso e darci qualche riferimento storico?
Affronteremo prossimamente una congettura importantissima...ma...a tempo debito.
Alla prossima ( ultimo incontro prima della meritata pausa )
Teoremi e congetture
a. La dimostrazione per assurdo si applica al teorema contrapposto, non(Th) ->non(Hp)
b. ..il suo contrapposto
c. ..l'inverso... ...contrapposto
d. ..l'inverso
e. ..il contrapposto
f. ..l'inverso
g. ci provo..
se un triangolo ha due lati uguali, allora ha anche due angoli uguali
se un triangolo ha due angoli uguali, allora ha anche due lati uguali
se un triangolo non ha due lati uguali, allora non ha due angoli uguali
se un triangolo non ha due angoli uguali, allora non ha due lati uguali
h. qui ne "invento" uno io
se un angolo è ottuso, allora è maggiore della metà di un angolo retto (VERO)
se un angolo è maggiore della metà di un angolo retto, allora è ottuso (FALSO)
i- una congettura è una affermazione fondata sull'intuito, ritenuta probabilmente vera, ma non dimostrata
l- una congettura è un enunciato preciso, come quello di un teorema, che però non è ancora un teorema perchè nessuno l'ha ancora dimostrato. Quindi non si sa ancora se sia vera o falsa. Ma se si vuole dimostrare che una congettura è falsa, si deve cercare un controesempio, ma se non si trova non si può concludere che il teorema è vero.
m- La congettura di Goldbach
n. afferma che "ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi". ad esempio 4=2+2 6=3+3 14=3+11=7+7
nel 1742 Goldbach scrisse una lettera a Eulero, proponendo questa congettura:
ogni numero intero maggiore di 5 può essere scritto come somma di 3 numeri primi
Eulero rispose riformulando il problema:
ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di 2 numeri primi
Molti verificarono che "ogni numero pari maggiore di 4 può essere scritto come somma di c primi" ma nessuno diede una dimostrazione rigorosa. altri, come Chen Jingrun, Oliveira e Silva, Estermann, lo verificarono calcolando, oppure con calcoli probabilistici. Infatti dal teorema dei numeri primi: più grande è il numero pari, più diventa probabile che possa essere scritto come somma di due primi.
Solo nel 1977 Pogorzelski diffuse una dimostrazione della congettura, ma non è generalmente accettata nella comunità matematica.
In passato era stato offerto un premio di un milione di dollari a chi fosse riuscito a dimostrare questa congettura... il premio non fu mai riscosso (valido fino al 2004)
Lidia Premoli Vilà
Congettura: una congettura matematica è infatti un enunciato formulato da uno o più matematici che lo ritenevano probabilmente vero, per il quale non è tuttora conosciuta una dimostrazione.
La differenza tra teorema e congettura, si capisce dalla definizione di teorema: Un teorema è una proposizione che, a partire da delle condizioni iniziali arbitrariamente stabilite, trae delle conclusioni, dandone una dimostrazione . Quindi
Quindi ecco la differenza: una congettura non si deve dimostrare, un teorema sì.
A livello di congetture, non sono ben informato.