Quesito n 16* " Gioca e spera "
Prima di affrontare il quesito ecco qualche definizione.
Si dice speranza matematica ( M ) di una vincita ( S ) il prodotto del valore che si spera di vincere per la probabilità di vincerlo ( p ( E ) ), cioè: M = p ( E ) . S.
Esempio: Un giocatore può vincere 72 euro se, lanciando due dadi ottiene un doppio sei. Qual è la sua speranza matematica?
Soluzione: E = Escono due sei
p ( E ) = 1/36
M = 72*1/36 = 2 euro
Che significa?
Se gioca una volta sola, o vince 0 euro o vince 72 euro. Ma se gioca molte volte, la media che deve aspettarsi è di 2 euro a giocata. Infatti, statisticamente vincerà una giocata ogni 36, cioè 35 volte 0 euro e una volta 72 euro.
La media è ( 35*0 + 1*72 )/36 = 2 euro.
In questo caso la speranza matematica è il valore medio di una variabile casuale X che può assumere solo due valori.
Più in generale se S1,S2,...,Sn sono delle somme ( positive o negative ovviamente
legate ai guadagni e alle perdite ), si definisce speranza matematica
M= S1*p1+S2*p2+....Sn*pn
Anche in questo caso la speranza è il valore medio della variabile X.
Si definisce gioco equo un gioco che ha speranza matematica zero. Facciamo un esempio:
Alla roulette francese il gioco " rosso e nero " è equo?
Alla roulette ci sono 37 caselle di cui 18 nere e 18 rosse
( lo zero è verde ).Puntando sul rosso o sul nero si incassa il doppio della posta.
Supponiamo di puntare 100 euro sul rosso. E = " Esce rosso "
p ( E ) = 18/37
posta A = 100 euro
vincita = 200 euro
speranza matematica : M = 200* 18/37 = 97,3 euro
E se vogliamo il livello di equità della roulette si calcola il rapporto M/A
M/A= 97,3/100= 0,973 cioè 97,3%
Il gioco non è equo ma non troppo sbilanciato.
E' tutto chiaro?
E finalmente il quesito per voi:
1. Un gioco con 40 carte.
Il giocatore estrae una carta. Se è un asso vince 30 euro, se è una figura vince 12 euro,in tutti gli altri casi deve pagare 14 euro.
Qual è la speranza matematica del giocatore?
Il gioco è equo?
E qual è il livello di equità?
''gioca e spera''
Le speranze matematiche sono:
S(asso)= 4/40*30=3 euro
S(figura)=12/40*12=3.6 euro
S(carte comuni)= -(24/40*14)= -8.4 euro
S(totale)=3+3.6-8.4=-1.8 euro
Il gioco non è equo.ù
Per essere equo il valore che si dovrebbe perdere se si pescasse una carta comune è 11 euro e non 14 euro,infatti così la speranza matematica sarebbe -6,6 euro e quindi la speranza totale 0 euro ⇒ il gioco sarebbe equo.
Ma il livello di equità come faccio a trovarlo,se non faccio una puntata iniziale?
beh prof,
innanzitutto, come disse il buon vecchio Occam, "entia non sunt multiplicanda sine necessitate". Ciò significa che non è necessario chiedere se il gioco è equo dopo aver chiesto qual'è la speranza
Cmq, non sarò io e dare la soluzione (anche perchè così se l'ho sbagliata non faccio brutte figure)
Dico solo che secondo i miei calcoli il modulo del rapporto tra livello di equità e speranza matematica è 0,4365 (anche se così facendo chiunque può tranquillamente verificare se ho fatto i calcoli giusti...ma ormai quel che ho scritto ho scritto)
Notte