Ecco qui un quesito sui numeri complessi: capita proprio al momento giusto.

Per comodità, qui c'è il testo ripetuto:

(z^2 + |z|^2 - 8) (z^2 + 2z + 10) = 0

Dato che è un'equazione di quarto grado e stiamo lavorando nel campo complesso, ci aspettiamo che le sue soluzioni siano esattamente quattro.

Per la legge di annullamento del prodotto, bisogna porre entrambi i fattori uguali a zero ed unire le soluzioni trovate.

• z^2 + |z|^2 - 8 = 0 è un'equazione di secondo grado nel campo complesso; il metodo più conveniente per risolverla è quello di sostituire a z la sua forma algebrica, diciamo quindi z = a + bi. Ricordiamo che il modulo di z è uguale al raggio ρ = √(a^2 + b^2); elevando al quadrato la radice si semplifica. Dopo aver calcolato otteniamo a^2 - 4 + abi = 0. Affinché un numero complesso z sia uguale a zero, bisogna avere Re z = 0 e Im z = 0; impostiamo dunque un sistema che interseca a^2 - 4 = 0 con ab = 0. Otterremo che a = ± 2 e b = 0; avremo quindi che z(1,2) = ± 2.
• Per quanto riguarda (z^2 + 2z + 10) = 0 il procedimento è molto più breve: basta risolverla come una normalissima equazione di secondo grado, badando ovviamente di raccogliere i quando si ottiene un discriminante negativo. Risulta z(3,4) = -1 ± 3i.

Unendo le soluzioni scriveremo:

z(1) = 2 ,    z(2) = -2 ,    z(3) = -1 + 3i ,    z(4) = -1 - 3i.