Quesito n 37* " Sistemi e probabilità "
Considera il sistema di due equazioni e due incognite x,y :
ax + by = e
cx + dy = f
dove a,b,c,d,e,f sono interi relativi.
Primo: dimostra che il sistema ammette una e una sola soluzione ( non necessariamente intera) qualunque siano e ed f se e solo se ad - bc è diverso da zero.
Secondo: Supponi di scegliere a caso i coefficienti a,b,c,d,e,f tra gli interi relativi con il valore assoluto minore o uguale a un intero positivo n prefissato.
Dimostra che la probabilità che il sistema abbia esattamente una soluzione ( non necessariamente intera) è compresa tra 1 - 1/2n e 1 - 1/ 3n^2 ( cioè tra 1 meno 1 diviso 2n e 1 meno 1 diviso 3 per n al quadrato ).
La prima parte è facile...la seconda un po' meno..
Il rango della matrice incompleta associata al sistema è uguale a due se il suo determinante ad-bc è diverso da zero. Anche la matrice completa ha rango 2 se ad-bc diverso da zero perchè non può avere rango 3 perchè è 3x2. Quindi se ad-bc è diverso da zero il rango della matrice incompleta è uguale al rango della matrice completa e è uguale al numero delle incognite perciò per il teorema di rouche capelli questo sistema ammette una soluzione determinata. La seconda parte ci penserò.