Quesito n 48* " Il biliardo triangolare "
Considera un triangolo qualsiasi di vertici A,B,C.
Indica con H,K,L i piedi delle altezze emanate da A,B,C rispettivamente.
Prima domanda : Cosa rappresentano le altezze AH, BK, CL rispetto al triangolo interno HKL ?
Seconda: Supponi adesso che il triangolo ABC sia acutangolo. Come puoi interpretare il risultato precedente in termini di un ipotetico gioco del biliardo all'interno di un tavolo triangolare?
Trascura l'attrito e supponi che gli urti siano perfettamente elastici.
Ecco fatto...e ora...buon lunedì...e martedì...e.........wm
beh..meglio tardi che mai.. Ho fatto il primo quesito, ma per il secondo non mi viene in mente nulla, o forse devo solo pensarci ancora un po'.
L'ortocentro di ABC coincide con l'incentro di HKL, ovvero le altezze di ABC sono le bisettrici di HKL. Dimostrazione:
i triangoli KCH, KLA e BLH sono tutti simili ad ABC, poichè:
_ AHC ≈ BKC, poichè hanno entrambi un angolo retto e l'angolo C in comune.
pertanto: HC:KC=AC:CB quindi HC:AC=KC:CB
_inoltre KCH ≈ ABC, poichè:
l'angolo C in comune
HC:AC=KC:CB come dimostrato nel passaggio precedente.
Allora hanno gli angoli corrispondenti congruenti, in particolare gli angoli HKC=CBA.
allo stesso modo si dimostra che KLA ≈ ABC, ne segue che gli angoli AKL=CBA, e BLH ≈ ABC. Quindi:
_Per quanto dimostrato, gli angoli HKC=AKL (essendo entrambi = a CBA) e anche i rispettivi complementari sono congruenti, pertanto BK è una bisettrice del triangolo HKL; analogamente si dimostra che AH e CL sono bisettrici anch'esse di HKL
Lidia Premoli Vilà