Königsberg (città della Prussia Orientale ora chiamata Kaliningrad) è attraversata dal fiume Pregel con i suoi affluenti, che formano due isole; per attraversare la città furono costruiti sette ponti. Il problema emerse quando ci si chiese se fosse stato possibile passare per ogni ponte una e una sola volta tornando poi al punto di partenza (pare che fosse un dilemma tanto radicato che i cittadini della città passeggiassero la domenica cercando di trovarne una soluzione).
Rimase un problema finché nel 1736 fu risolto da Leonhard Euler, dimostrando l'impossibilità di un percorso di tal genere attraverso la teoria dei grafi (a cui il grande matematico dà origine); infatti, riducendo la passeggiata a un grafo ed esprimendo il problema in nodi e gradi dei nodi, dimostrò che "un grafo è percorribile se e solo se ha tutti i nodi di grado pari, o due di essi sono di grado dispari", condizione non soddisfatta dalla città di Königsberg.
Dopo questa curiosa introduzione passiamo a parlare del grandissimo Eulero.
Breve biografia
Nato a Basilea nel 1707, fu amico della famiglia Bernoulli (e del matematico Johann Bernoulli). Studiò filosofia, perché il padre pastore protestante lo voleva teologo, ma ben presto passò allo studio della matematica.
Si trasferì a San Pietroburgo, dove lavorò all'accademia imperiale delle scienze nei dipartimenti di medicina e matematica, quindi partì per Berlino nel 1741. Lì pubblicò 380 articoli e le sue due opere principali: "Introductio in analysin infinitorum" e "Institutiones calculi differentialis". 
Nel frattempo, una febbre cerebrale, il lungo studio e una cataratta lo portarono alla cecità quasi completa. Nonostante questo, la sua incredibile memoria gli permise di continuare a svolgere la sua attività di ricerca (conosceva le prime sei potenze dei primi cento numeri e recitava l'Eneide in latino a memoria).
Nel 1766 tornò in Russia, dove subì la perdita di tutti i suoi appunti nel corso di un incendio. Morì infine nel 1783 a 76 anni.
Opere
Fu uno dei matematici più prolifici: pubblicò 866 lavori e contribuì in diverse aree della matematica (e in alcune della fisica).

Nel campo dell'analisi introdusse il concetto di funzione (e la relativa notazione tuttore vigente: f(x) ), l'uso della funzione esponenziale e dei logaritmi, di cui trovò lo sviluppo in serie e, per i logaritmi, ne ampliò l'uso ai numeri complessi e negativi. Scoprì anche lo sviluppo in serie di alcune funzioni notevoli e ne calcolò il valore.

In analisi complessa, scoprì la formula di Eulero e ne ricavò l'identità di Eulero (la "formula più bella" su cui ritorneremo in seguito)

Introdusse la notazione attuale della sommatoria, della "e" per il numero di Nepero, alla "i" per l'unità immaginaria.

Risolse numerosi problemi di teoria dei numeri, dimostrando diversi teoremi di Fermat; inoltre provò la correlazione tra i numeri primi e la funzione zeta di Riemann.

Contribuì alla nascita della teoria dei grafi, che sarebbe evoluta in seguito nella topologia, e introdusse la formula per i poliedri convessi.

In geometria analitica definì le equazioni di alcune figure solide e si occupò anche di curve generate da funzioni trascendenti.

Si occupò di meccanica classica e celeste e determinò le orbite di molte comete.

 
Per quanto riguarda il contesto in cui si può parlare di Eulero nel corso di studi del nostro liceo è, in logica, in diagramma di Eulero-Venn, i numeri complessi, l'analisi e la geometria pura (con la retta di Eulero). Collegato al discorso di risoluzione di equazioni, c'è il metodo di Eulero per la risoluzione di quelle di quarto grado, anche se non penso sia contemplato dal programma.
 
L'equazione della bellezza e dell'armonia, se non ho capito male, deve essere l'identità di Eulero, definita infatti da Richard Feynman "la formula più bella di tutta la matematica".
Prima di trattarla è opportuno introdurre la Formula di Eulero (da cui l'identità deriva). Questa afferma che
e^(ix)=cos(x)+i*sen(x)
e si può interpretare graficamente con la rappresentazione sul piano di Argand-Gauss dei numeri complessi, detto x l'angolo compreso tra l'asse delle parti reali e il vettore che rappresenta il numero complesso. Questa è già una formula particolarmente interessante, perché esprime la relazione tra le funzioni goniometriche e la funzione esponenziale complessa.
Ora, sempre restando nel piano di Argand-Gauss, ponendo l'angolo "x" uguale a pi, si arriva a dire che 
e^(i*pi)=cos(pi)+i*sen(pi).
ma poiché cos(pi)=1 e sen(pi)=0, si avrà che
e^(i*pi)=-1
portando tutto a primo membro
e^(i*pi)+1=0
che è proprio l'equazione dell'identità di Eulero, o "la formula più bella di tutta la matematica".
Eulero dimostrò questa relazione attraverso degli sviluppi di serie trigonometriche (da quella del numero di Nepero, alla sua potenza come sviluppo in serie di Taylor, a quelle di seno e coseno). Interessante notare anche la particolarità della funzione f(x)=e^x, in quanto ha come derivata se stessa: f'(x)=e^x.
Per finire, l'identità di Eulero è così bella perché racchiude in un'unica formula alcune (se non le) costanti matematiche più importanti:

il numero e, costante fondamentale per esponenziali, logaritmi e analisi (ad esempio nello studio delle equazioni differenziali)

l'unità immaginaria, la radice di -1.

il numero pi, fondamentale nella trigonometria e costante nella geometria euclidea.

il numero 1, elemento neutro per la moltiplicazione;

il numero 0, elemento neutro per l'addizione;

Inoltre, sono presenti tutti gli operatori fondamentali dell'aritmetica e le assunzioni fondamentali dell'analisi complessa.
Benjamin Peirce, eminente matematico del XIX secolo, al termine di una lezione disse, a proposito della formula di Eulero:
Signori, posso dirlo con certezza, è assolutamente paradossale: non possiamo capirla, e non sappiamo cosa significhi; ma l'abbiamo dimostrata, e quindi sappiamo che deve essere vera.