- I numeri di Fermat si definiscono come
Fn = 2^(2^n) + 1
con n ∈ N.
Poiché i primi 5 sono primi (3, 5, 17, 257, 65537), Fermat credeva che lo fossero tutti; tuttavia il solito Eulero dimostrò l'errore: ogni numero di Fermat è divisibile per
k·2^(n+2) + 1
Con questa formula Eulero verificò che il sesto numero di Fermat (F5)  era divisibile per i numeri primi 257 e 641 (rispettivamente per k=2 e k=5).
Tra le tante proprietà (a dire il vero tutte degne di nota) riporto quella che secondo me è più interessante:
Fn = F0·F1···Fn-1 + 2
(si può dimostrare per induzione). Da questo si deduce il "teorema di Goldbach": ogni coppia di numeri di Fermat è coprima (non hanno divisori primi in comune); infatti se due numeri di Fermat avessero un fattore comune, questo, per la relazione scritta prima, dividerebbe F0·F1···Fn-1 e F0·F1···Fn-1 +2, cioè sarebbe uguale a 2; ma è impossibile perché non ci sono numeri di Fermat pari.
Quindi, poiché esistono infiniti numeri di Fermat devono esistere infiniti numeri primi, perché un numero primo ne divide al massimo uno.
 
- I numeri di Mersenne si esprimono con
Mn = 2^n -1
con n ∈ N.
In modo analogo ai numeri di Fermat è possibile determinare i suoi fattori primi, della forma 2·a·n + 1.
Particolare importanza assumono i numeri primi di Mersenne (se Mn è primo, allora n è primo —ma non vale l'inverso—): infatti, se Mn è primo,
(Mn · (Mn + 1))/2 = (2^(n-1)) · (2^n -1)
è un numero perfetto (cioè è uguale alla somma dei suoi divisori... affascinante!!)
 
- I numeri di Fibonacci — ormai si sa ;) — sono i numeri che fanno parte della successione di Fibonacci:
F0=0
F1=1
Fn=Fn-1+Fn-2
con n>1.
Senza riferirsi ai numeri precedenti, si può dire, usando la formula di Binet, che
Fn = (phi^n - (1 - phi)^n)/(sqrt5)
Non elenco le proprietà e applicazioni dei numeri di Fibonacci perché sarebbe riduttivo, vista la loro quantità.
 
- Prima della congettura di Goldbach due parole sui numeri primi gemelli (citati nel testo del quesito): sono numeri primi la cui differenza è 2. Esempi: 5;7 - 11;13 - 29;31 - ...
Pare (lo sottolineo perché è solo una congettura) che siano infiniti e che siano distribuiti secondo una legge, in modo analogo ai numeri primi (congettura di Hardy-Littlewood). Inoltre, la somma dei reciproci dei numeri primi gemelli converge nella costante di Brun (e questo, congettura dei numeri primi gemelli permettendo, ricorda abbastanza il "discernere nell'immenso il piccolo" di Bernoulli!)
È dimostrato che due numeri primi sono gemelli se
4( (p-1)! + 1) è congruo a -p mod(m(m+2))
 
- La congettura di Goldbach afferma che ogni numero pari >2 può essere scritto come somma di due numeri primi.
Sembra una cosa semplice ma nessuno ancora l'ha dimostrata. Si pensa sia vera, anche da quello che emerge dal teorema dei numeri primi (che descrive la loro distribuzione asintotica —cioè quanto "in fretta" tendano a infinito—).
Anche in questo c'entra Eulero: Goldbach sottopose all'attenzione di Eulero la "congettura debole": "ogni intero maggiore di 5 può essere scritto come somma di tre numeri primi"; Eulero, per risposta, ripropose la congettura nella forma citata prima (e chiamata "congettura forte di Goldbach").
 
Buon pomeriggio e buona settimana!