Finalmente trovo il tempo: una "pausa matematica" tra fisica e latino! :)
Dunque, prima di tutto la costruzione: basta prendere un triangolo equilatero; la porzione delimitata dalle tre circonferenze con centro nei vertici del triangolo e raggio pari alla metà del lato del triangolo (e quindi tangenti a due a due nel punto medio dei lati) è il triangolo curvilineo.
La figura: https://www.dropbox.com/s/k6tx99tpdlpwwco/triangolo_curvilineo.pdf
Per calcolarne l'area basta sottrarre a quella del triangolo equilatero di partenza quella dei tre settori circolari interni al triangolo.
Poiché il lato del triangolo è 2r, l'area è
(2r * (sqrt(3)*r)/2 ) / 2 = sqrt(3) * r^2.
Inoltre, perché gli angoli di un triangolo equilatero sono pari a pi/3, l'area di ogni settore circolare è
(r^2 * pi/3) / 2.
Allora, l'area del triangolo curvilineo è
A_tr = (sqrt(3) * r^2) - 3*(pi*r^2)/6 = ( sqrt(3) - pi/2 ) * r^2.
 
Buona settimana (per fortuna quasi finita) !!