Un frattale è un oggetto geometrico dotato di omotetia interna: si ripete nella sua forma allo stesso modo su scale diverse. Il termine frattale venne coniato nel 1975 da Mandelbrot per descrivere alcuni comportamenti matematici che sembravano avere un comportamento "caotico" , e deriva dal latino fractus (rotto, spezzato);  infatti le immagini frattali sono considerate dalla matematica oggetti di dimensioni anche non intera.
La natura produce molti esempi di forme molto simili ai frattali. Ad esempio in un albero (soprattutto nell'abete) ogni ramo è approssimativamente simile all'intero albero e ogni rametto è a sua volta simile al proprio ramo, e così via; lo stesso per la curva del fiocco di neve di von Koch che, pur rimanendo completamente in una regione limitata ha tuttavia perimetro infinito. 
A qualunque scala si osservi, l'oggetto presenta sempre gli stessi caratteri globali. Una sostanziale differenza fra un oggetto geometrico euclideo e uno frattale è il modo in cui si costruisce: una curva piava si costruisce sul piano cartesiano e si basa su un'equazione, mentre quella frattale su un algoritmo. 
 Inoltre, l'algoritmo non è mai applicato una volta sola, ma la procedura è iterata un numero di volte teoricamente infinito: ad ogni iterazione, la curva si avvicina sempre più al risultato finale (per approssimazione), e, dopo un certo numero di iterazioni, l'occhio umano non è più in grado di distinguere le modifiche.
 
La dimensione frattale è un parametro molto importante che determina il "grado di irregolarità" dell'oggetto frattale preso in esame.
Mandelbrot nel suo libro intitolato “Gli oggetti frattali” pubblicato nel 1975 afferma l’esistenza di differenti metodi per misurare la dimensione di un frattale, introdotti quando il matematico si cimentò con la determinazione della lunghezza delle coste della Gran Bretagna.
Egli afferma nel suo libro che la costra è stata modellata nel corso del tempo da molteplici influenze e che il caso può generare irregolarità come nelle coste.
Il caso non deve essere sottovalutato nello studio degli oggetti frattali in quanto l’omotetia interna fa sì che il caso abbia precisamente la stessa importanza a qualsiasi scala. Per tanto gli oggetti frattali sono inseriti nel contesto dei sistemi caotici dinamici.
Esistono diverse famiglie di frattali suddivise in base al grado dei termini dell'equazione contenuta nell'algortmo: lineari, non lineari e aleatori.
 
I frattali lineari sono quelli la cui equazione generatrice contiene solo termini del primo ordine, e quindi si ha un algoritmo di tipo lineare.
 
Esistono diversi tipi di frattali non lineari, la cui equazione generatrice è di ordine superiore a 1.
Uno di questi si basa sulla trasformazione quadratica ed è stato oggetto di attenzione particolare, poiché produce una grande ricchezza di forme geometriche a partire da un algoritmo piuttosto semplice ed è strettamente collegato all'odierna teoria del caos.
La teoria su cui si basa questo frattale quadratico fu descritta per la prima volta nel 1918 dal matematico francese Julia. Le sue ricerche basate sul comportamento della trasformazione , furono presto dimenticate fino alla rielaborazione da parte di Mandelbrot
L'impresa intellettuale di Julia e Fatou è particolarmente notevole perché, non esistendo a quel tempo calcolatori elettronici, essi potevano contare solamente sulle proprie capacità di astrazione.

 
I frattali aleatori: Per generare un frattale di questo tipo si può cominciare con un triangolo giacente su un piano arbitrario.
I punti medi di ciascun lato del triangolo sono collegati tra loro e il triangolo è così diviso in quattro triangoli più piccoli. Ciascun punto medio è poi alzato o abbassato di una quantità scelta a caso. Lo stesso procedimento è applicato a ciascuno dei triangoli più piccoli e il processo è ripetuto all’infinito. All’aumentare del numero delle iterazioni, comincia a formarsi una superficie sempre più ricca di particolari. In questo «metodo dello spostamento dei punti medi», l’entità aleatoria dello spostamento dei punti medi è retta da una legge di distribuzione che può essere modificata fino a ottenere una buona approssimazione della superficie di cui si vuol costruire il modello.
L'insieme di Julia di una funzione olomorfa (definita in un sottoinsieme aperto dei numeri complessi e differenziabile in ogni punto del dominio) consiste di tutti quei punti il cui comportamento dopo ripetute iterazioni della funzione è caotico, nel senso che può cambiare drasticamente in seguito ad una piccola perturbazione iniziale.

 
L'insieme di Mandelbrot o frattale di Mandelbrot è uno dei frattali più popolari.
È l'insieme dei numeri complessi  per i quali è limitata la successione definita da:

con
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Nonostante la semplicità della definizione, l'insieme ha una forma complessa il cui contorno è un frattale. 

 
 
 
L'ordine semplice e la regolarità sono forse un'eccezione? La complessità e la geometria dei frattali sono la regola dominante? I solidi platonici devono farsi da parte dinanzi all'insieme di Mandelbrot?