La somma dei primi n numeri dispari è (ed è immediato trovarlo) n^2.
(1)          1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n - 1) = n^2
Dimostriamolo per induzione:
per il valore base n = 1, si ha
              1 = 1^2
che è verificato.
Resta da dimostrare che, se la relazione è vera per n, è vera anche per n+1.
Aggiungendo l'n+1-esimo termine, (2(n + 1) - 1) = (2n + 1) diventa
              1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n - 1) + (2n + 1) = n^2 + 2n + 1
che, dal momento che è il quadrato di (n+1), è proprio uguale alla (1) in cui il generico n è n+1.
 
La somma dei primi n numeri pari è invece (1 + n)n.
(2)          2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n = (1 + n)n
Dimostriamolo per induzione:
per il valore base n = 1, si ha
              2*1 = (1 + 1)*1
che è verificato.
Ora, se la (2) è vera per n, basta mostrare che sia vera per n+1.
L'n+1-esimo termine è 2(n+1), sicché si ha
              2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n + 2(n + 1) = (1 + n)n + 2(n + 1) = (1+n)(2+n)
che è il secondo membro della (2) in cui il generico n è (n+1).
 
Buonasera, 
Samuele :)