Partiamo con la definizione: l'insieme delle parti di un insieme è l'insieme dei suoi sottoinsiemi.
Ora, l'insieme delle parti di A è
P(A) = {∅, a, b, c, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} }.
Quello di B è
P(B) = {∅, b, c, d, e, {b,c}, {b,d}, {b,e}, {c,d}, {c,e}, {d,e}, {b,c,d}, {b,c,e}, {b,d,e}, {c,d,e}, {b,c,d,e} }.
P(A ∩ B} = {∅, b, c, {b,c} }.
Il fatto che P(A) ∩ P(B) = P(A ∩ B) è facilmente verificabile, perché gli elementi in comune tra P(A) e P(B) sono proprio quelli elencati in P(A ∩ B).
Che non valga l'uguaglianza tra P(A) U P(B) e P(A U B) si verifica ricordando che il numero di elementi dell'insieme delle parti è 2^(numero di elementi dell'insieme di partenza).
Così P(A U B), constatando che l'insieme unione (A U B) ha 5 elementi, {a,b,c,d,e}, ha 2^5 = 32 elementi; il numero degli elementi di P(A) U P(B) è invece, indicando con #X il numero degli elementi di un insieme X,
# ( P(A) U P(B) ) = # P(A) + # P(B) - # P(A ∩ B)
e quindi i suoi elementi sono 
2^3 + 2^4 - 2^2 = 20.
In generale, quindi, dire che P(A) U P(B) ≠ P(A U B), equivale ad affermare che è diverso il numero dei loro elementi, e che quindi
2^(#A) + 2^(#B) - 2^(#(A∩B)) ≠ 2^(#A + #B - #(A∩B))
relazione vera se non per il caso in cui B viene a coincidere con (A∩B), cioè B è un sottoinsieme di A.
 
Samuele