Dal momento che il quesito risulta ambiguo su quale sia l'equazione da considerare e che per quella espressa in parentesi la risoluzione appare evidente (x = - 5), tratterò solamente la prima (che mi pare essere quella "ufficiale").
Ora, poiché non esistono metodi algebrici a me noti che permettano di risolvere l'equazione
          10^(-x) = x^5
ricorrerò al metodo grafico, che consiste nella risoluzione del seguente sistema:
          y=10^(-x)     a sistema con     y=x^5.
Rappresentando sul piano cartesiano le due funzioni, risulta che
          f(x)=10^(-x) 
è strettamente decrescente in tutto il dominio (che coincide con R): infatti,
x_1 < x_2
-x_1 > - x_2
10^(-x_1) > 10^(-x_2)
f(x_1) > f(x_2)
e
          g(x)=x^5
strettamente crescente in tutto il dominio (che coincide con R), perché la sua derivata prima, g'(x)=5x^4, è sempre positiva, e nulla per x=0.
f(x) appartiene ai primi due quadranti, g(x) al primo e al terzo. Una loro eventuale intersezione sarà presente esclusivamente nel primo quadrante.
Ma nel primo quadrante le funzioni rispettivamente decrescono e crescono strettamente, e quindi, intuitivamente, dovrà esistere un loro punto d'intersezione, che sarà unico: dopo essersi incontrate, cosa che avviene necessariamente per il loro diverso andamento (in caso contrario sarebbero parallele oppure debolmente crescenti o decrescenti, asserzioni entrambe false, come mostrato), non possono che divergere, sempre in virtù del fatto che l'una cresce e l'altra descresce in senso stretto.
 
Buona sera,
Samuele :)