Buonasera!
Come avevo accennato nel quesito musicale precedente, la cultura greca aveva già compreso il profondo legame intercorrente tra matematica e musica.
I pitagorici, in particolare, che consideravano tutto il mondo come manifestazione di rapporti numerici - possibilmente armonici - svilupparono un sistema originale di determinazione degli intervalli musicali. 
La scala più semplice e diffusa fu quella diatonica, costituita da sette note separate da cinque intervalli di un tono e due di un semitono (do--re-mi--fa--sol--la--si-do...); passando al rapporto tra la lunghezza delle corde usate per gli strumenti, i pitagorici individuarono il 3:2 per l'intervallo di quinta e 2 per l'ottava; di qui, la costruzione di una scala musicale è semplicissima: basta operare per progressione di quinte e ricondurre tutto all'ottava desiderata dividendo per 2; si arriva a tutte le note dividendo o moltiplicando per 3:2.
È interessante riconoscere che, a differenza del ben conosciuto circolo delle quinte della scala temperata, la successione delle quinte pitagorica non è ciclica, dacché i rapporti si presentano sempre in forma diversa; questo è comprensibile, se si considera, ad esempio, che, in una scala di tal natura, le alterazioni hanno frequenza diversa se ascendenti o discendenti: applicato ad un pianoforte, si dovrebbero avere due tasti per ogni tasto nero!
Vediamo allora di calcolare i primi rapporti: 
do → 1
sol → 3:2
re → 9:8 (3:2 * 3:2 / 2)
la → 27:16 (9:8 * 3:2)
mi → 81:64 (27:16 * 3:2 / 2)
si → 243:128 (81:64 * 3:2)
do↑ → 2
Il rapporto sol/mi è allora 32:27, così come quello do/la: entrambi sono una terza minore.
 
E ora i logaritmi. Dal momento che la distanza tra due suoni si esprime mediante il rapporto tra le frequenze, è possibile reintrodurre il concetto intuitivo di differenza applicando i logaritmi. 
Una scala musicale canonica è composta da 12 note, ciascuna separata da un semitono; il temperamento equabile, introdotto alla fine del Seicento, prevede l'uguaglianza dei semitoni; considerando il rapporto di ottava pari a 2, il rapporto di un semitono si esprime dunque con la radice dodicesima di 2 (perché è quel rapporto che moltiplicato per se stesso dodici volte dà 2).
Sia R un rapporto tra due note, espresso mediante
               R = sqrt[12]{2^n};
applicando i logaritmi in base due a entrambi i membri,
               log_2{R} = (n/12) * log_2{2}
               12 log_2{R} = n.
n è il rapporto logaritmico delle frequenze che, se moltiplicato per 100, dà i centesimi, molto diffuso nelle applicazioni tecniche; nel caso del rapporto di terza minore nella scala pitagorica:
               n = 12 log_2{32:27} ≈ 2,94
Se la scala fosse invece temperata, n, per definizione della scala, sarebbe un numero intero: una terza minore è costituita da tre semitoni, l'esponente da dare alla radice dodicesima di 2 è quindi 3, pari a n.
 
Samuele