Émile Borel (1871-1956) è stato un matematico francese, che ha dato notevoli contributi in probabilità, topologia e teoria della misura.
Un risultato trasversale a queste discipline - ma di fondamentale importanza per la probabilità -  è il lemma di Borel-Cantelli, la cui conseguenza più sorprendente è che, se vengono svolte infinite prove indipendenti, un qualsiasi evento con probabilità positiva si verifica un numero infinito di volte. 
Proprio questo è il paradosso di Borel. La versione divulgativa prevede una scimmia posta davanti a una tastiera che prema a caso i tasti per un tempo lunghissimo; all'infinito, la scimmia sarà in grado di produrre qualsiasi testo (i volumi della Biblioteca nazionale francese, le opere di Shakespeare, la Commedia dantesca, ...).
Supponiamo che la tastiera abbia 40 tasti (i caratteri, le lettere accentate, spazi, punteggiatura); la probabilità di premere un tasto è 1/40. Un testo di n caratteri avrà probabilità
               (1/40)^n
di essere composto.È chiaro che questa sia una probabilità molto bassa (la Commedia, che ha circa 500000 caratteri, ha probabilità 40^(-500000) di essere prodotta: un risultato praticamente irrisorio). 
E tuttavia, applicando, oltre che il modello delle prove ripetute, anche il lemma di Borel e la conseguente legge dei grandi numeri, si arriva al risultato paradossale.
Infatti, detta p(E) la probabilità che si verifichi un dato evento, la probabilità per cui, in n prove ripetute, l'evento non si verifica mai è ( 1-p(E) )^n. Per n→∞, questa probabilità tende a 0.
Con un numero sufficientemente alto di prove, la probabilità che l'evento si verifichi almeno una volta tende a 1:
               1 - ( 1-p(E) )^n → 1.
È possibile, semplicemente risolvendo un'equazione, stabilire un valore n_0 tale che la probabilità sia del 0,9999.
Il problema è che n_0 è un numero grandissimo (servono tantissime prove perché l'evento si verifichi almeno una volta) e, supponendo che la scimmia dell'esempio iniziale prema un tasto ogni secondo, servirebbe un tempo infinitamente superiore (circa 10^25 volte) di quello del nostro universo.
È chiaro, dunque, che il paradosso sia solo un affascinante risultato teorico, fondamentale, però, per comprendere il significato e il funzionamento delle leggi della probabilità. 
Nulla vieta, comunque, la realizzazione di "realtà" in cui il paradosso trovi luogo: nel magnifico "La biblioteca di Babele", Borges descrive un intero mondo la cui essenza è la realizzazione di quanto prospettato dal paradosso di Borel: 
Questo pensatore osservò che tutti i libri, per quanto diversi, sono formati da elementi uguali: lo spazio, il punto, la virgola, le ventidue lettere dall'alfabeto. Aggiunse anche un fatto che tutti i viaggiatori hanno confermato: Non ci sono, nella vasta Biblioteca, due libri identici. Da quelle premesse incontrovertibili dedusse che la Biblioteca è totale e che i suoi scaffali registrano tutte le combinazioni possibili della ventina di simboli ortografici [...], cioè tutto ciò che è dato di esprimere: in tutte le lingue.

 
Samuele